Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1.25 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, calcule $(I_3 - A)^3$.** En primer lugar, identificamos la matriz identidad de orden 3, $I_3$, y realizamos la resta $I_3 - A$: $$I_3 - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-5 & 0-6 \\ 0-0 & 1-1 & 0-7 \\ 0-0 & 0-0 & 1-1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{I_3 - A = \begin{pmatrix} 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la resta de matrices se realiza restando elemento a elemento las posiciones correspondientes.

Para calcular el cubo, primero elevamos la matriz resultante al cuadrado. Llamemos $M = I_3 - A$: $$M^2 = M \cdot M = \begin{pmatrix} 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: - $0\cdot0 + (-5)\cdot0 + (-6)\cdot0 = 0$ - $0\cdot(-5) + (-5)\cdot0 + (-6)\cdot0 = 0$ - $0\cdot(-6) + (-5)\cdot(-7) + (-6)\cdot0 = 35$ - Fila 2: - $0\cdot0 + 0\cdot0 + (-7)\cdot0 = 0$ - $0\cdot(-5) + 0\cdot0 + (-7)\cdot0 = 0$ - $0\cdot(-6) + 0\cdot(-7) + (-7)\cdot0 = 0$ - Fila 3: - $0\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 0$ - $0\cdot(-5) + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 0$ - $0\cdot(-6) + 0\cdot(-7) + 0\cdot0 = 0$ $$M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 35 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Presta atención al signo al multiplicar $(-5) \cdot (-7) = 35$.

Ahora calculamos el cubo multiplicando $M^2$ por $M$: $$(I_3 - A)^3 = M^2 \cdot M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 35 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Al realizar el producto fila por columna: - El único elemento que podría ser distinto de cero es el de la primera fila y tercera columna, pero: $0 \cdot (-6) + 0 \cdot (-7) + 35 \cdot 0 = 0$. Todos los elementos resultan ser 0. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{(I_3 - A)^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O_3}$$

**b) (1.25 puntos) Dadas las matrices $B = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$, determine $a$ y $b$ de manera que $B \cdot C - D = O$, siendo $O$ la matriz nula.** Primero calculamos el producto $B \cdot C$: $$B \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) + a \cdot 3 \\ b \cdot (-1) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 3a \\ -b + 9 \end{pmatrix}$$ Ahora planteamos la ecuación $B \cdot C - D = O$: $$\begin{pmatrix} -1 + 3a \\ -b + 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} -1 + 3a - 5 \\ -b + 9 - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} 3a - 6 \\ -b - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Para que dos matrices sean iguales, sus elementos deben ser iguales uno a uno. Obtenemos un sistema de dos ecuaciones independientes: 1) $3a - 6 = 0 \implies 3a = 6 \implies a = \frac{6}{3} = 2$ 2) $-b - 1 = 0 \implies -b = 1 \implies b = -1$ 💡 **Tip:** En una ecuación matricial simple, una vez operados ambos miembros, basta con igualar los términos que ocupan la misma posición. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{a = 2, \quad b = -1}$$