Optimización y análisis de rentabilidad

**a) [1,25 puntos] Determine la cantidad que se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y el valor de dicha rentabilidad.** La función de rentabilidad es una parábola de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$. Como el coeficiente de $x^2$ es negativo ($a = -0,01 \lt 0$), sabemos que la función tiene un máximo absoluto en su vértice. Calculamos la primera derivada $R'(x)$ para localizar los puntos críticos: $$R'(x) = 2 \cdot (-0,01)x + 0,4 = -0,02x + 0,4$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $x$ donde la pendiente es nula: $$-0,02x + 0,4 = 0 \implies 0,4 = 0,02x \implies x = \frac{0,4}{0,02} = 20$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función buscamos los puntos donde su derivada se anula ($f'(x)=0$). $$\boxed{x = 20}$$

Para confirmar que en $x = 20$ existe un máximo, estudiamos el signo de la segunda derivada o la monotonía de la función. Calculamos $R''(x)$: $$R''(x) = -0,02$$ Como $R''(20) = -0,02 \lt 0$, queda confirmado que en $x = 20$ hay un **máximo relativo** (que coincide con el absoluto por tratarse de una parábola invertida). **Estudio de la monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,20) & 20 & (20,50)\\\hline R'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ Ahora calculamos el valor de la rentabilidad máxima sustituyendo $x = 20$ en la función original: $$R(20) = -0,01(20)^2 + 0,4(20) + 1,5$$ $$R(20) = -0,01(400) + 8 + 1,5 = -4 + 8 + 1,5 = 5,5$$ La cantidad a invertir son **20 mil euros** para obtener una rentabilidad de **5,5 mil euros**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Inversión: } 20.000\text{ €; Rentabilidad: } 5.500\text{ €}}$$

**b) [1,25 puntos] Determine para qué valores de la inversión la rentabilidad es de al menos 4,56 miles de euros.** La expresión "al menos" nos indica que la rentabilidad debe ser mayor o igual que 4,56. Por tanto, debemos resolver la inecuación: $$R(x) \ge 4,56$$ $$-0,01x^2 + 0,4x + 1,5 \ge 4,56$$ Trasponemos todos los términos a un lado para obtener una inecuación de segundo grado: $$-0,01x^2 + 0,4x + 1,5 - 4,56 \ge 0$$ $$-0,01x^2 + 0,4x - 3,06 \ge 0$$ Multiplicamos por $-100$ para trabajar con números enteros (recordando que al multiplicar por un número negativo el sentido de la desigualdad cambia): $$x^2 - 40x + 306 \le 0$$ 💡 **Tip:** Al resolver inecuaciones de segundo grado, primero hallamos las raíces de la ecuación asociada para determinar los intervalos de signo.

Resolvemos $x^2 - 40x + 306 = 0$ usando la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$x = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4(1)(306)}}{2(1)} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1224}}{2}$$ $$x = \frac{40 \pm \sqrt{376}}{2}$$ Calculamos el valor de la raíz (aproximando $\sqrt{376} \approx 19,39$): $$x_1 = \frac{40 - 19,39}{2} = \frac{20,61}{2} = 10,305$$ $$x_2 = \frac{40 + 19,39}{2} = \frac{59,39}{2} = 29,695$$ Como la parábola $y = x^2 - 40x + 306$ abre hacia arriba, los valores menores o iguales a cero se encuentran **entre las dos raíces**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{10,305 \le x \le 29,695}$$ Es decir, la inversión debe estar comprendida entre **10.305 € y 29.695 € aproximadamente**.