Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.5 puntos) Dibuje el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones y determine sus vértices:** Para representar el recinto, primero convertimos las inecuaciones en ecuaciones de rectas. Estas rectas delimitarán nuestra región factible: 1. $y \geq 200 - 2x \implies r_1: 2x + y = 200$ 2. $x - 100 \leq 3y \implies r_2: x - 3y = 100$ 3. $x + 2y \leq 600 \implies r_3: x + 2y = 600$ 4. $x \geq 0 \implies r_4: x = 0$ (eje de ordenadas) Calculamos un par de puntos para cada recta para poder dibujarlas: - Para $r_1$: Si $x=0, y=200$; si $y=0, x=100$. Puntos: $(0, 200)$ y $(100, 0)$. - Para $r_2$: Si $x=100, y=0$; si $x=400, y=100$. Puntos: $(100, 0)$ y $(400, 100)$. - Para $r_3$: Si $x=0, y=300$; si $y=0, x=600$. Puntos: $(0, 300)$ y $(600, 0)$. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta cumple la inecuación, prueba con un punto cualquiera (como el $(100, 100)$). Si cumple la desigualdad, esa zona es la válida.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las intersecciones de las rectas que delimitan la región: - **Vértice A** ($r_1 \cap r_4$): $$\begin{cases} 2x + y = 200 \\ x = 0 \end{cases} \implies y = 200 \implies \mathbf{A(0, 200)}$$ - **Vértice B** ($r_3 \cap r_4$): $$\begin{cases} x + 2y = 600 \\ x = 0 \end{cases} \implies 2y = 600 \implies \mathbf{B(0, 300)}$$ - **Vértice C** ($r_2 \cap r_3$): $$\begin{cases} x - 3y = 100 \\ x + 2y = 600 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(x+2y) - (x-3y) = 600 - 100 \implies 5y = 500 \implies y = 100$. Sustituyendo $y$: $x = 100 + 3(100) = 400 \implies \mathbf{C(400, 100)}$ - **Vértice D** ($r_1 \cap r_2$): $$\begin{cases} 2x + y = 200 \\ x - 3y = 100 \end{cases}$$ De la primera $y = 200 - 2x$. Sustituyendo: $x - 3(200 - 2x) = 100 \implies x - 600 + 6x = 100 \implies 7x = 700 \implies x = 100$. $y = 200 - 2(100) = 0 \implies \mathbf{D(100, 0)}$ ✅ **Vértices del recinto:** $$\boxed{A(0, 200), B(0, 300), C(400, 100), D(100, 0)}$$

**b) (1 punto) Sabiendo que $A(0, 2)$, $B(1, 4)$, $C(3, 4)$, $D(4, 2)$ y $E(2, 1)$ son los vértices de una región factible, determine en ella el mínimo y el máximo de la función $F(x, y) = 10x + 5y + 21$, e indique los puntos donde se alcanzan.** Evaluamos la función $F(x, y)$ en cada uno de los vértices dados: - $F(A) = F(0, 2) = 10(0) + 5(2) + 21 = 0 + 10 + 21 = 31$ - $F(B) = F(1, 4) = 10(1) + 5(4) + 21 = 10 + 20 + 21 = 51$ - $F(C) = F(3, 4) = 10(3) + 5(4) + 21 = 30 + 20 + 21 = 71$ - $F(D) = F(4, 2) = 10(4) + 5(2) + 21 = 40 + 10 + 21 = 71$ - $F(E) = F(2, 1) = 10(2) + 5(1) + 21 = 20 + 5 + 21 = 46$ 💡 **Tip:** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el óptimo se encuentra en un vértice o en un segmento que une dos vértices si estos tienen el mismo valor.

Analizando los valores obtenidos: - El valor mínimo es **31** y se alcanza en el punto **$A(0, 2)$**. - El valor máximo es **71**. Al alcanzarse en dos vértices adyacentes, **$C(3, 4)$** y **$D(4, 2)$**, la función también alcanza ese valor máximo en todos los puntos del segmento que los une. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Mínimo: } 31 \text{ en } A(0, 2)}$$ $$\boxed{\text{Máximo: } 71 \text{ en todos los puntos del segmento } \overline{CD}}$$