Continuidad y derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**a) (0.75 puntos) Calcule el valor de $a$ para que $f$ sea continua en $x = 1$.** Para que la función sea continua en $x = 1$, se debe cumplir que el límite de la función cuando $x$ tiende a $1$ exista y coincida con el valor de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$ Calculamos cada parte por separado utilizando las ramas correspondientes: 1. **Valor de la función y límite por la izquierda ($x \le 1$):** $$f(1) = \lim_{x \to 1^-} (1 - 2x^2) = 1 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$$ 2. **Límite por la derecha ($x \gt 1$):** $$\lim_{x \to 1^+} (x^2 - 2ax + 3) = 1^2 - 2a(1) + 3 = 1 - 2a + 3 = 4 - 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la continuidad en un punto de salto entre ramas, debemos igualar los límites laterales.

Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$-1 = 4 - 2a$$ Ahora resolvemos la ecuación de primer grado: $$2a = 4 + 1$$ $$2a = 5$$ $$a = \frac{5}{2} = 2.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2.5}$$

**b) (1.75 puntos) Para $a = 2$ estudie la continuidad y la derivabilidad de $f$.** Sustituimos $a = 2$ en la función original: $$f(x) = \begin{cases} 1 - 2x^2 & \text{si } x \le 1 \\ x^2 - 4x + 3 & \text{si } 1 < x \le 3 \\ -x^2 + 8x - 15 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ Analizamos la continuidad en los puntos de salto entre intervalos: $x = 1$ y $x = 3$. **En $x = 1$:** - $f(1) = 1 - 2(1)^2 = -1$ - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1$ - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$ Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$, hay un **salto finito** en $x = 1$. Por tanto, $f$ **no es continua** en $x = 1$ y, en consecuencia, **tampoco es derivable** en $x = 1$.

Analizamos ahora el punto **$x = 3$**: - $f(3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$ - $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 0$ - $\lim_{x \to 3^+} f(x) = -(3)^2 + 8(3) - 15 = -9 + 24 - 15 = 0$ Como los límites laterales y el valor de la función coinciden ($0 = 0 = 0$), la función **es continua en $x = 3$**. 💡 **Tip:** Antes de estudiar la derivabilidad en un punto, es obligatorio que la función sea continua en él. Si no es continua, automáticamente no es derivable.

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama (excepto en los puntos conflictivos): $$f'(x) = \begin{cases} -4x & \text{si } x < 1 \\ 2x - 4 & \text{si } 1 < x < 3 \\ -2x + 8 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ Comprobamos las derivadas laterales en **$x = 3$**: - Derivada por la izquierda: $f'(3^-) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$ - Derivada por la derecha: $f'(3^+) = -2(3) + 8 = -6 + 8 = 2$ Como las derivadas laterales existen y son iguales ($2 = 2$), la función **es derivable en $x = 3$**. 💡 **Tip:** La derivabilidad significa que la gráfica no tiene "picos" o esquinas, la transición entre curvas es suave.

Resumiendo el estudio para $a = 2$: - **Continuidad:** La función es continua en $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. En $x = 1$ presenta una discontinuidad de salto finito. - **Derivabilidad:** La función es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Cabe destacar que en $x = 3$ la función es derivable pues es continua y sus derivadas laterales coinciden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R}-\{1\}. \text{ Derivable en } \mathbb{R}-\{1\}.}$$