Probabilidad con reemplazamiento: Bolas de colores

**a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que gane Ana.** Primero, analizamos el contenido de la bolsa: - Bolas Blancas ($B$): 5 - Bolas Rojas ($R$): 3 - Bolas Negras ($N$): 4 - **Total de bolas**: $5 + 3 + 4 = 12$ Como Ana devuelve la bola a la bolsa (muestreo con reemplazamiento), las extracciones son independientes. La probabilidad de cada color es: - $P(B) = \dfrac{5}{12}$ - $P(R) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ - $P(N) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidad donde la primera rama es la bola de Ana ($A$) y la segunda la de Manolo ($M$): 💡 **Tip:** Al ser con reemplazamiento, las probabilidades no cambian entre la primera y la segunda extracción.

Ana gana si las dos bolas tienen el mismo color. Los sucesos favorables son: - Salen dos blancas: $(B, B)$ - Salen dos rojas: $(R, R)$ - Salen dos negras: $(N, N)$ Calculamos la probabilidad de cada uno usando la independencia: $$P(B, B) = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{25}{144}$$ $$P(R, R) = \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12} = \dfrac{9}{144}$$ $$P(N, N) = \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} = \dfrac{16}{144}$$ Sumamos los resultados: $$P(\text{Gana Ana}) = P(B, B) + P(R, R) + P(N, N)$$ $$P(\text{Gana Ana}) = \dfrac{25}{144} + \dfrac{9}{144} + \dfrac{16}{144} = \dfrac{50}{144}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 2: $$P(\text{Gana Ana}) = \dfrac{25}{72} \approx 0.3472$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Gana Ana}) = \dfrac{25}{72}}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que gane Manolo.** Manolo gana si **sólo hay una bola blanca**. Esto puede ocurrir de dos formas: 1. Ana saca blanca ($B$) y Manolo no saca blanca ($\bar{B}$). 2. Ana no saca blanca ($\bar{B}$) y Manolo saca blanca ($B$). Calculamos la probabilidad de no sacar blanca: $$P(\bar{B}) = P(R) + P(N) = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$$ Ahora calculamos las probabilidades combinadas: - $P(B, \bar{B}) = P(B) \cdot P(\bar{B}) = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{35}{144}$ - $P(\bar{B}, B) = P(\bar{B}) \cdot P(B) = \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{35}{144}$ Sumamos ambas: $$P(\text{Gana Manolo}) = \dfrac{35}{144} + \dfrac{35}{144} = \dfrac{70}{144}$$ Simplificamos dividiendo entre 2: $$P(\text{Gana Manolo}) = \dfrac{35}{72} \approx 0.4861$$ 💡 **Tip:** El suceso "sólo una blanca" excluye el caso $(B, B)$, que ya hemos contado en la victoria de Ana. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Gana Manolo}) = \dfrac{35}{72}}$$

**c) (0.25 puntos) Calcule la probabilidad de que haya empate.** El juego tiene tres resultados posibles: gana Ana, gana Manolo o hay empate. La suma de las probabilidades de estos sucesos debe ser 1. $$P(\text{Gana Ana}) + P(\text{Gana Manolo}) + P(\text{Empate}) = 1$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$\dfrac{50}{144} + \dfrac{70}{144} + P(\text{Empate}) = 1$$ $$\dfrac{120}{144} + P(\text{Empate}) = 1$$ Despejamos: $$P(\text{Empate}) = 1 - \dfrac{120}{144} = \dfrac{144 - 120}{144} = \dfrac{24}{144}$$ Simplificamos dividiendo entre 24: $$P(\text{Empate}) = \dfrac{1}{6} \approx 0.1667$$ 💡 **Tip:** También podrías calcularlo sumando los casos restantes: $(R,N)$ y $(N,R)$, que darían $\frac{12}{144} + \frac{12}{144} = \frac{24}{144}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Empate}) = \dfrac{1}{6}}$$