Contraste de hipótesis para la proporción

Para decidir si la afirmación es cierta, realizamos un contraste de hipótesis sobre la proporción poblacional $p$. La hipótesis nula ($H_0$) representa la afirmación que queremos contrastar, mientras que la hipótesis alternativa ($H_1$) es la negación de la misma (contraste bilateral). - **Hipótesis nula**: $H_0: p = 0.70$ (La afirmación es cierta). - **Hipótesis alternativa**: $H_1: p \neq 0.70$ (La afirmación es falsa). 💡 **Tip:** El contraste es bilateral porque queremos verificar la "veracidad", es decir, si la proporción es exactamente esa o ha cambiado (ya sea a más o a menos).

Para una muestra de tamaño $n$ suficientemente grande, la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal: $$\hat{p} \approx N\left(p_0, \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}\right)$$ Donde los datos son: - Proporción poblacional bajo $H_0$: $p_0 = 0.70$ - Complemento: $q_0 = 1 - p_0 = 0.30$ - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Proporción observada en la muestra: $\hat{p} = \frac{340}{500} = 0.68$ Calculamos la desviación típica de la proporción muestral: $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.70 \cdot 0.30}{500}} = \sqrt{\frac{0.21}{500}} = \sqrt{0.00042} \approx 0.0205$$ 💡 **Tip:** Como $n \cdot p = 500 \cdot 0.7 = 350 > 5$ y $n \cdot q = 500 \cdot 0.3 = 150 > 5$, la aproximación a la normal es válida.

El nivel de significación es $\alpha = 0.01$. Al ser un contraste bilateral, repartimos el error en dos colas de tamaño $\alpha/2 = 0.005$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.005 = 0.995$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ Por tanto, la **región de aceptación** para el estadístico $Z$ es el intervalo: $$(-2.575, 2.575)$$ 💡 **Tip:** El valor crítico delimita la zona donde aceptamos la hipótesis nula. Si el resultado de nuestra muestra cae fuera, rechazaremos la afirmación.

Calculamos cuánto se aleja nuestra observación ($\hat{p} = 0.68$) del valor teórico ($p_0 = 0.70$) en unidades de desviación típica. Para ello, tipificamos la variable: $$Z_{exp} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{exp} = \frac{0.68 - 0.70}{0.0205} = \frac{-0.02}{0.0205} \approx -0.9756$$ 💡 **Tip:** El estadístico de contraste nos dice a cuántas desviaciones típicas está el dato de la muestra respecto de la media supuesta.

Comparamos el valor obtenido $Z_{exp} = -0.9756$ con la región de aceptación: Como $-2.575 \lt -0.9756 \lt 2.575$, el valor del estadístico de contraste **cae dentro de la región de aceptación**. Por lo tanto, **no hay evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula**. Con un nivel de significación del 0.01, podemos concluir que la afirmación de que el 70% de las familias cena viendo la televisión es aceptable. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se acepta la afirmación con un nivel de significación de 0.01}}$$