Ecuaciones matriciales y operaciones con matrices

**a) (1.5 puntos) De una matriz cuadrada, $A$, de orden 3 se conocen los siguientes elementos $a_{12} = a_{21} = -2$, $a_{13} = a_{31} = 0$, $a_{23} = a_{32} = 1$. Determine los demás elementos de la matriz $A$ sabiendo que debe cumplirse la ecuación $A \cdot B = C^t$, donde $B^t = (1, -1, 1)$ y $C = (-4, 2, -1)$.** En primer lugar, planteamos la estructura de la matriz $A$ de orden $3 \times 3$. Los elementos que no conocemos (los de la diagonal principal) los llamaremos $x$, $y$ y $z$: $$A = \begin{pmatrix} x & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & y & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & -2 & 0 \\ -2 & y & 1 \\ 0 & 1 & z \end{pmatrix}$$ Ahora preparamos los vectores $B$ y $C^t$. Como nos dan sus traspuestas, debemos recordar que la traspuesta de una fila es una columna: - Si $B^t = (1, -1, 1)$, entonces $B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ - Si $C = (-4, 2, -1)$, entonces $C^t = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ 💡 **Tip:** Una matriz de orden 3 es una matriz $3 \times 3$. El subíndice $a_{ij}$ indica la fila $i$ y la columna $j$.

Sustituimos las matrices en la ecuación $A \cdot B = C^t$: $$\begin{pmatrix} x & -2 & 0 \\ -2 & y & 1 \\ 0 & 1 & z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de la matriz por el vector columna siguiendo la regla de "fila por columna": - Primera fila: $x \cdot (1) + (-2) \cdot (-1) + 0 \cdot (1) = x + 2$ - Segunda fila: $-2 \cdot (1) + y \cdot (-1) + 1 \cdot (1) = -2 - y + 1 = -1 - y$ - Tercera fila: $0 \cdot (1) + 1 \cdot (-1) + z \cdot (1) = -1 + z$ Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales comparando los elementos de los vectores resultantes: $$\begin{cases} x + 2 = -4 \\ -1 - y = 2 \\ -1 + z = -1 \end{cases}$$

Resolvemos cada ecuación de forma independiente para hallar las incógnitas: 1. Para $x$: $x + 2 = -4 \implies x = -4 - 2 \implies \mathbf{x = -6}$ 2. Para $y$: $-1 - y = 2 \implies -1 - 2 = y \implies \mathbf{y = -3}$ 3. Para $z$: $-1 + z = -1 \implies z = -1 + 1 \implies \mathbf{z = 0}$ Sustituimos los valores encontrados en la matriz $A$: ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} -6 & -2 & 0 \\ -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Calcule $2D^2$, siendo $D = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}$.** Primero calculamos $D^2$. Recuerda que elevar una matriz al cuadrado no es elevar cada elemento, sino multiplicar la matriz por sí misma ($D^2 = D \cdot D$): $$D^2 = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto: - Elemento (1,1): $1\cdot 1 + (-5)\cdot 3 = 1 - 15 = -14$ - Elemento (1,2): $1\cdot (-5) + (-5)\cdot (-5) = -5 + 25 = 20$ - Elemento (2,1): $3\cdot 1 + (-5)\cdot 3 = 3 - 15 = -12$ - Elemento (2,2): $3\cdot (-5) + (-5)\cdot (-5) = -15 + 25 = 10$ Por tanto: $$D^2 = \begin{pmatrix} -14 & 20 \\ -12 & 10 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de matrices no es conmutativo, pero en potencias $D \cdot D$ el orden siempre es el mismo.

Para obtener $2D^2$, multiplicamos cada uno de los elementos de la matriz resultante por el número 2: $$2D^2 = 2 \cdot \begin{pmatrix} -14 & 20 \\ -12 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-14) & 2 \cdot 20 \\ 2 \cdot (-12) & 2 \cdot 10 \end{pmatrix}$$ Calculamos los productos finales: ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{2D^2 = \begin{pmatrix} -28 & 40 \\ -24 & 20 \end{pmatrix}}$$