Estudio de una función de beneficios a trozos

**a) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses.** Antes de estudiar la derivabilidad, es obligatorio comprobar si la función es continua en $t = 6$. Si no fuera continua, automáticamente no sería derivable. Para que $B(t)$ sea continua en $t=6$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1) Valor de la función: $$B(6) = \frac{1}{8}(6)^2 - 6 + 5 = \frac{36}{8} - 6 + 5 = 4.5 - 1 = 3.5$$ 2) Límite por la izquierda ($t \to 6^-$): $$\lim_{t \to 6^-} B(t) = \lim_{t \to 6^-} \left(\frac{1}{8} t^2 - t + 5\right) = 3.5$$ 3) Límite por la derecha ($t \to 6^+$): $$\lim_{t \to 6^+} B(t) = \lim_{t \to 6^+} \frac{t + 1}{2} = \frac{6 + 1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$$ Como $B(6) = \lim_{t \to 6^-} B(t) = \lim_{t \to 6^+} B(t) = 3.5$, la función **es continua en $t = 6$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición necesaria, pero no suficiente, para la derivabilidad.

Calculamos la función derivada $B'(t)$ para los puntos interiores de los intervalos: $$B'(t) = \begin{cases} \frac{1}{4}t - 1 & \text{si } 0 \lt t \lt 6 \\ \frac{1}{2} & \text{si } 6 \lt t \lt 12 \end{cases}$$ Ahora calculamos las derivadas laterales en $t = 6$: - Derivada por la izquierda: $B'(6^-) = \frac{1}{4}(6) - 1 = 1.5 - 1 = 0.5$ - Derivada por la derecha: $B'(6^+) = 0.5$ Como $B'(6^-) = B'(6^+)$, las pendientes coinciden y no hay un punto anguloso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } B(t) \text{ es derivable en } t = 6}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio?** Para buscar los extremos (máximos y mínimos), buscamos los puntos donde la derivada es cero y evaluamos también los extremos del intervalo $[0, 12]$. 1) En el primer tramo ($0 \le t \le 6$): $$B'(t) = \frac{1}{4}t - 1 = 0 \implies \frac{1}{4}t = 1 \implies t = 4$$ Evaluamos la función en $t=4$: $$B(4) = \frac{1}{8}(4)^2 - 4 + 5 = \frac{16}{8} - 4 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$$ 2) En el segundo tramo ($6 \lt t \le 12$): $B'(t) = 0.5$, que nunca es cero. En este tramo la función es una recta con pendiente positiva (siempre crece). **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 4) & 4 & (4, 6) & 6 & (6, 12) \\\hline B'(t) & - & 0 & + & 0.5 & + \end{array}$$ Comparamos los valores en los extremos y el punto crítico: - $B(0) = 5$ - $B(4) = 3$ - $B(12) = \frac{12+1}{2} = 6.5$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio fue mínimo a los 4 meses con un valor de 3000 euros}}$$

**c) (1 punto) Represente gráficamente la función $B(t)$. ¿Cuándo fue máximo el beneficio? ¿A cuánto ascendió?** Para la representación: - El primer tramo es un trozo de parábola convexa (forma de U) con vértice en $(4, 3)$. - El segundo tramo es un segmento de recta que empieza en $(6, 3.5)$ y termina en $(12, 6.5)$. Observando los valores calculados anteriormente: - Al inicio ($t=0$): $B(0) = 5$ - En el mínimo ($t=4$): $B(4) = 3$ - En el cambio de rama ($t=6$): $B(6) = 3.5$ - Al final ($t=12$): $B(12) = 6.5$ El valor más alto alcanzado es $6.5$ en el mes 12. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio fue máximo a los 12 meses con un valor de 6500 euros}}$$