Probabilidad de consumo de aceites

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en los datos proporcionados: - $O$: La persona consume aceite de oliva. - $S$: La persona consume aceite de girasol. - $O \cap S$: La persona consume ambos tipos de aceite. Traducimos los porcentajes a probabilidades decimales: - $P(O) = 0.55$ - $P(S) = 0.30$ - $P(O \cap S) = 0.20$ Para resolver este tipo de ejercicios, lo más sencillo es organizar la información en una **tabla de contingencia**, donde las filas representen el consumo de girasol y las columnas el de oliva. $$\begin{array}{r|cc|c} & \text{Oliva (O)} & \text{No Oliva (O}^c\text{)} & \text{Total} \\ \hline \text{Girasol (S)} & 0.20 & & 0.30 \\ \text{No Girasol (S}^c\text{)} & & & \\ \hline \text{Total} & 0.55 & & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de un suceso y su contrario siempre es 1. Es decir, $P(O) + P(O^c) = 1$.

Rellenamos los huecos de la tabla mediante restas sencillas: 1. Consumo de girasol pero no de oliva: $P(S \cap O^c) = P(S) - P(S \cap O) = 0.30 - 0.20 = 0.10$. 2. Consumo de oliva pero no de girasol: $P(O \cap S^c) = P(O) - P(O \cap S) = 0.55 - 0.20 = 0.35$. 3. Probabilidad de no consumir oliva: $P(O^c) = 1 - P(O) = 1 - 0.55 = 0.45$. 4. Probabilidad de no consumir girasol: $P(S^c) = 1 - P(S) = 1 - 0.30 = 0.70$. 5. Probabilidad de no consumir ninguno: $P(O^c \cap S^c) = P(O^c) - P(O^c \cap S) = 0.45 - 0.10 = 0.35$. La tabla completa queda así: $$\begin{array}{r|cc|c} & \text{Oliva (O)} & \text{No Oliva (O}^c\text{)} & \text{Total} \\ \hline \text{Girasol (S)} & 0.20 & 0.10 & 0.30 \\ \text{No Girasol (S}^c\text{)} & 0.35 & 0.35 & 0.70 \\ \hline \text{Total} & 0.55 & 0.45 & 1.00 \end{array}$$

**a) (1 punto) Si consume aceite de oliva, ¿cuál es la probabilidad de que consuma también aceite de girasol?** Nos piden una probabilidad condicionada: sabemos que la persona ya consume aceite de oliva (suceso condicionante), por lo que calculamos $P(S|O)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(S|O) = \frac{P(S \cap O)}{P(O)}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(S|O) = \frac{0.20}{0.55} = \frac{20}{55}$$ Simplificando la fracción dividiendo entre 5: $$P(S|O) = \frac{4}{11} \approx 0.3636$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ restringe nuestro "universo" al suceso $B$. En este caso, solo nos fijamos en la columna de los que consumen Oliva. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S|O) = \frac{4}{11} \approx 0.3636}$$

**b) (1 punto) Si consume aceite de girasol, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma aceite de oliva?** En este caso, la condición es que consume aceite de girasol ($S$). Queremos hallar la probabilidad de que no consuma oliva ($O^c$), es decir, $P(O^c|S)$. Usamos la fórmula: $$P(O^c|S) = \frac{P(O^c \cap S)}{P(S)}$$ Buscamos los valores en nuestra tabla: - $P(O^c \cap S) = 0.10$ (está en la intersección de la fila S y columna $O^c$) - $P(S) = 0.30$ Calculamos: $$P(O^c|S) = \frac{0.10}{0.30} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(O^c|S) = \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma ninguno de los dos tipos de aceite?** Este suceso corresponde a la intersección de no consumir oliva y no consumir girasol: $O^c \cap S^c$. Podemos obtener este valor directamente de nuestra tabla de contingencia realizada en el paso 2, observando la celda donde cruzan las opciones "No Oliva" y "No Girasol": $$P(O^c \cap S^c) = 0.35$$ También podríamos haberlo calculado por las Leyes de De Morgan, sabiendo que la probabilidad de no consumir ninguno es el contrario de consumir al menos uno ($O \cup S$): $$P(O \cup S) = P(O) + P(S) - P(O \cap S) = 0.55 + 0.30 - 0.20 = 0.65$$ $$P(O^c \cap S^c) = 1 - P(O \cup S) = 1 - 0.65 = 0.35$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan dicen que $P(O^c \cap S^c) = P((O \cup S)^c)$. Es muy útil cuando no se dispone de una tabla. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(O^c \cap S^c) = 0.35}$$