Distribución de la media muestral

**a) (0.5 puntos) ¿cuál es la distribución de la media muestral?** Primero definimos la variable aleatoria poblacional $X$ como el peso de un adulto en kg. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(70, 16)$$ Para muestras de tamaño $n = 4$, la teoría de distribuciones muestrales nos indica que si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la media muestral $\bar{X}$ también sigue una distribución normal con la misma media $\mu$ y una desviación típica (error estándar) igual a $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Calculamos los parámetros de $\bar{X}$: 1. Media: $\mu_{\bar{x}} = \mu = 70$ 2. Desviación típica: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{16}{\sqrt{4}} = \dfrac{16}{2} = 8$ 💡 **Tip:** Recuerda que la variabilidad de las medias de las muestras es siempre menor que la variabilidad de los individuos aislados; por eso dividimos $\sigma$ por $\sqrt{n}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{X} \sim N(70, 8)}$$

**b) (1 punto) ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio de una de esas muestras esté comprendido entre 65 y 72 kg?** Debemos calcular $P(65 \le \bar{X} \le 72)$. Para ello, tipificamos la variable $\bar{X}$ utilizando $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} = \dfrac{\bar{X} - 70}{8}$: $$P(65 \le \bar{X} \le 72) = P\left(\frac{65 - 70}{8} \le Z \le \frac{72 - 70}{8}\right)$$ $$P(-0.625 \le Z \le 0.25)$$ Calculamos esta probabilidad restando los valores de la función de distribución acumulada: $$P(Z \le 0.25) - P(Z \le -0.625)$$ Como la distribución es simétrica, $P(Z \le -0.625) = 1 - P(Z \le 0.625)$: $$P(Z \le 0.25) - [1 - P(Z \le 0.625)]$$ Buscando en las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$: - $P(Z \le 0.25) = 0.5987$ - $P(Z \le 0.625) \approx 0.7340$ (usando el promedio entre $0.62$ y $0.63$) Sustituimos: $$0.5987 - (1 - 0.7340) = 0.5987 - 0.266 = 0.3327$$ 💡 **Tip:** Al tipificar, asegúrate de usar la desviación típica de la media muestral ($8$) y no la de la población ($16$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(65 \le \bar{X} \le 72) = 0.3327}$$

**c) (1 punto) ¿cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea menor que 70kg?** Buscamos $P(\bar{X} \lt 70)$. Tipificamos de nuevo: $$P(\bar{X} \lt 70) = P\left(Z \lt \frac{70 - 70}{8}\right) = P(Z \lt 0)$$ En una distribución Normal estándar $N(0, 1)$, la probabilidad de que la variable sea menor que su media (que es $0$) es exactamente $0.5$ debido a la simetría de la campana de Gauss. 💡 **Tip:** No necesitas mirar las tablas para $P(Z \lt 0)$, ya que el área total bajo la curva es $1$ y la mitad está a la izquierda del cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \lt 70) = 0.5}$$