Programación Lineal: Recinto y Optimización

**a) (1.75 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices.** Primero, simplificamos las inecuaciones para identificar las rectas que delimitan el recinto: 1. $13x + 8y \le 600 \implies$ Recta $r_1: 13x + 8y = 600$ 2. $3(x - 2) \ge 2(y - 3) \implies 3x - 6 \ge 2y - 6 \implies 3x \ge 2y \implies$ Recta $r_2: 3x - 2y = 0$ 3. $x - 4y \le 0 \implies x \le 4y \implies$ Recta $r_3: x - 4y = 0$ Para representar las rectas, buscamos un par de puntos por donde pase cada una: - Para $r_1$: Si $x=0 \implies y=75$; si $y=0 \implies x \approx 46.15$. - Para $r_2$: Si $x=0 \implies y=0$; si $x=20 \implies y=30$. - Para $r_3$: Si $x=0 \implies y=0$; si $x=40 \implies y=10$. 💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta está la solución, sustituye un punto que no esté en la recta (como el $(10, 10)$) y comprueba si cumple la inecuación.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas tomadas de dos en dos: **Vértice O (Cruce de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 3x - 2y = 0 \\ x - 4y = 0 \end{cases}$$ Como ambas son rectas que pasan por el origen (no tienen término independiente), el punto es **$O(0, 0)$**. **Vértice A (Cruce de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} 13x + 8y = 600 \\ 3x - 2y = 0 \implies y = 1.5x \end{cases}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$13x + 8(1.5x) = 600 \implies 13x + 12x = 600 \implies 25x = 600 \implies x = 24$$ $$y = 1.5(24) = 36$$ Luego el vértice es **$A(24, 36)$**. **Vértice B (Cruce de $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 13x + 8y = 600 \\ x - 4y = 0 \implies x = 4y \end{cases}$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$13(4y) + 8y = 600 \implies 52y + 8y = 600 \implies 60y = 600 \implies y = 10$$ $$x = 4(10) = 40$$ Luego el vértice es **$B(40, 10)$**. $$\boxed{O(0, 0), A(24, 36), B(40, 10)}$$

Representamos el recinto factible $R$ sombreando la región que cumple simultáneamente las tres condiciones. El recinto es el triángulo formado por los puntos calculados anteriormente.

**b) (0.75 puntos) Calcule el valor máximo en dicho recinto de la función $F(x, y) = 65x + 40y$, indicando dónde se alcanza.** Evaluamos la función $F(x, y) = 65x + 40y$ en cada uno de los vértices del recinto: - En $O(0, 0)$: $$F(0, 0) = 65(0) + 40(0) = 0$$ - En $A(24, 36)$: $$F(24, 36) = 65(24) + 40(36) = 1560 + 1440 = 3000$$ - En $B(40, 10)$: $$F(40, 10) = 65(40) + 40(10) = 2600 + 400 = 3000$$ 💡 **Tip:** Si el valor máximo se repite en dos vértices adyacentes, significa que la función objetivo es paralela a ese lado del recinto y el máximo se alcanza en todo el segmento que los une.

Observamos que el valor máximo es **3000** y se alcanza tanto en el punto $A(24, 36)$ como en el punto $B(40, 10)$. Esto sucede porque la función objetivo $F(x, y) = 65x + 40y$ es proporcional a la restricción $13x + 8y = 600$, ya que $65x + 40y = 5(13x + 8y)$. Por tanto, el valor máximo de la función es **3000** y se alcanza en todos los puntos del **segmento que une los vértices A(24, 36) y B(40, 10)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 3000, \text{ alcanzado en el segmento } AB}$$