Estudio de monotonía desde la derivada y recta tangente

**a) (1.5 puntos) La gráfica de la función derivada, $f'$, de una función $f$ es una parábola que corta al eje $OX$ en los puntos $(-1, 0)$ y $(3, 0)$, y tiene su vértice en $(1, -4)$. Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función $f$ e indique la abscisa de cada extremo relativo.** Para estudiar la monotonía de una función $f$, debemos analizar el signo de su derivada $f'$. Nos dicen que la gráfica de $f'$ es una parábola con: - Puntos de corte con el eje $OX$: $x = -1$ y $x = 3$. En estos puntos, $f'(x) = 0$. - Vértice: $(1, -4)$. Como la ordenada del vértice es negativa ($y = -4$) y está situada entre las raíces, la parábola tiene las ramas hacia arriba (es convexa). Esto implica que: - $f'(x) \gt 0$ para los valores de $x$ fuera del intervalo de las raíces. - $f'(x) \lt 0$ para los valores de $x$ comprendidos entre las raíces. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$, la función $f$ es creciente, y si $f'(x) \lt 0$, la función $f$ es decreciente.

A partir de los cortes con el eje $OX$ de la derivada, dividimos la recta real en intervalos para analizar el signo de $f'(x)$ y el comportamiento de $f(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Análisis de los intervalos:** - En $(-\infty, -1)$: $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ es **creciente**. - En $(-1, 3)$: $f'(x) \lt 0$, por lo que $f(x)$ es **decreciente**. - En $(3, +\infty)$: $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ es **creciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{f \text{ es creciente en } (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \text{ y decreciente en } (-1, 3)}$$

Los extremos relativos ocurren en los puntos donde la derivada es cero y hay un cambio de signo: - En $x = -1$: La función pasa de crecer a decrecer (el signo de $f'$ cambia de $+$ a $-$). Por lo tanto, hay un **máximo relativo**. - En $x = 3$: La función pasa de decrecer a crecer (el signo de $f'$ cambia de $-$ a $+$). Por lo tanto, hay un **mínimo relativo**. El enunciado nos pide indicar la abscisa (el valor de $x$) de cada extremo relativo. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } x = -1; \quad \text{Mínimo relativo en } x = 3}$$

**b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $g(x) = -2e^{3x}$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente a $g(x)$ en $x = a$ viene dada por: $$y - g(a) = g'(a)(x - a)$$ 1. **Calculamos la ordenada del punto** ($g(0)$): $$g(0) = -2e^{3 \cdot 0} = -2e^0 = -2 \cdot 1 = -2$$ El punto de tangencia es **$(0, -2)$**. 2. **Calculamos la derivada de la función** ($g'(x)$): Usamos la regla de la cadena para la exponencial ($[e^{u(x)}]' = u'(x)e^{u(x)}$): $$g'(x) = -2 \cdot (3) \cdot e^{3x} = -6e^{3x}$$ 3. **Calculamos la pendiente de la tangente** ($m = g'(0)$): $$m = g'(0) = -6e^{3 \cdot 0} = -6e^0 = -6 \cdot 1 = -6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto.

Sustituimos los valores obtenidos ($a = 0$, $g(0) = -2$, $g'(0) = -6$) en la fórmula de la recta punto-pendiente: $$y - (-2) = -6(x - 0)$$ $$y + 2 = -6x$$ $$y = -6x - 2$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = -6x - 2}$$