Probabilidad en el servicio técnico

Para resolver el problema, lo primero que haremos será definir los sucesos que intervienen y organizar la información en un diagrama en árbol. Definimos los sucesos: - $G$: El aparato está en garantía. - $\overline{G}$: El aparato no está en garantía. - $R$: El aparato ha sido reparado en otra ocasión. - $\overline{R}$: El aparato no ha sido reparado anteriormente (es su primera vez). Datos del enunciado: - $P(G) = 0.30$ (por tanto, $P(\overline{G}) = 1 - 0.30 = 0.70$) - De los que **están** en garantía ($G$), el $5\%$ se repararon antes: $P(R|G) = 0.05$. - De los que **no están** en garantía ($\overline{G}$), el $20\%$ se repararon antes: $P(R|\overline{G}) = 0.20$.

**a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido reparado en otra ocasión?** Para calcular la probabilidad de que un aparato haya sido reparado anteriormente ($R$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el aparato puede proceder del grupo en garantía o del grupo sin garantía. La fórmula es: $$P(R) = P(G) \cdot P(R|G) + P(\overline{G}) \cdot P(R|\overline{G})$$ Sustituimos los valores obtenidos de nuestro diagrama: $$P(R) = (0.30 \cdot 0.05) + (0.70 \cdot 0.20)$$ $$P(R) = 0.015 + 0.14$$ $$P(R) = 0.155$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades de las ramas finales debe ser igual a 1 ($0.015+0.285+0.14+0.56 = 1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = 0.155}$$ (También expresado como $15.5\%$).

**b) (1.25 puntos) Si es la primera vez que ha llegado al servicio técnico, ¿cuál es la probabilidad de que esté en garantía?** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: sabemos que el aparato llega por primera vez (suceso $\overline{R}$) y queremos saber la probabilidad de que esté en garantía ($G$). Es decir, buscamos $P(G|\overline{R})$. Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(G|\overline{R}) = \frac{P(G \cap \overline{R})}{P(\overline{R})}$$ 1. Calculamos el numerador $P(G \cap \overline{R})$: $$P(G \cap \overline{R}) = P(G) \cdot P(\overline{R}|G) = 0.30 \cdot 0.95 = 0.285$$ 2. Calculamos el denominador $P(\overline{R})$. Como es el suceso contrario a ser reparado anteriormente: $$P(\overline{R}) = 1 - P(R) = 1 - 0.155 = 0.845$$ 3. Aplicamos la fórmula: $$P(G|\overline{R}) = \frac{0.285}{0.845} \approx 0.3373$$ 💡 **Tip:** Bayes siempre relaciona una información "a posteriori" (sabemos que es la primera vez) con una causa inicial (que esté en garantía). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G|\overline{R}) \approx 0.3373}$$ (Aproximadamente un $33.73\%$).