Intervalo de confianza para el peso medio de cachorros

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, al 95%.** Primero, identificamos los datos proporcionados por el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.25$ kg. - Tamaño de la muestra: $n = 8$. - Pesos de la muestra: $\{1.2, 0.9, 1, 1.2, 1.1, 1, 0.8, 1.1\}$. Calculamos la media muestral ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1.2 + 0.9 + 1 + 1.2 + 1.1 + 1 + 0.8 + 1.1}{8}$$ $$\bar{x} = \frac{8.3}{8} = 1.0375\text{ kg}$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional. Se obtiene sumando todos los valores observados y dividiendo por el número total de observaciones. $$\boxed{\bar{x} = 1.0375\text{ kg}}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$. 3. $\alpha/2 = 0.025$. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Consultando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.975$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor $1.96$ es muy común en estadística, ya que corresponde al nivel de confianza estándar del $95\%$. Siempre es útil recordarlo.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el margen de error ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{0.25}{\sqrt{8}}$$ $$E = 1.96 \cdot \frac{0.25}{2.8284} \approx 1.96 \cdot 0.0884 = 0.1732$$ Ahora aplicamos los límites: - Límite inferior: $1.0375 - 0.1732 = 0.8643$ - Límite superior: $1.0375 + 0.1732 = 1.2107$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.8643, 1.2107)}$$

**b) (0.5 puntos) Halle el error máximo que se cometería usando el intervalo anterior.** El error máximo cometido ($E$) es el radio del intervalo de confianza, que ya hemos calculado en el paso anterior utilizando la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituyendo los valores del apartado anterior: $$E = 1.96 \cdot \frac{0.25}{\sqrt{8}} \approx 0.1732\text{ kg}$$ 💡 **Tip:** El error máximo representa la diferencia máxima esperada entre la media muestral y la media poblacional real con el nivel de confianza dado. ✅ **Resultado (Error máximo):** $$\boxed{E \approx 0.1732\text{ kg}}$$

**c) (0.5 puntos) Razone cómo variaría la amplitud del intervalo de confianza si, manteniendo el mismo nivel de confianza, aumentásemos el tamaño de la muestra.** La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es la distancia entre el límite superior y el inferior, lo que equivale a dos veces el error máximo: $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ En esta expresión, observamos que el tamaño de la muestra ($n$) se encuentra en el **denominador**. Por tanto: 1. Al **aumentar el tamaño de la muestra ($n$)**, el término $\sqrt{n}$ también aumenta. 2. Al dividir por un número más grande, el cociente $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ se hace **más pequeño**. 3. Como consecuencia, el error $E$ disminuye y la **amplitud del intervalo disminuye**. Esto significa que al tomar una muestra más grande, obtenemos una estimación más precisa de la media, por lo que el intervalo se estrecha. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La amplitud del intervalo disminuiría.}}$$