Distribución Normal de las Pensiones

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que un jubilado de esa región tenga una pensión de, al menos, 850 euros?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$: $X =$ "Pensión de un jubilado en euros". El enunciado nos dice que $X$ sigue una distribución normal con media $\mu = 750$ y desviación típica $\sigma = 100$. Se escribe como: $$X \sim N(750, 100)$$ Queremos calcular la probabilidad de que la pensión sea de, al menos (es decir, mayor o igual), 850 euros: $P(X \ge 850)$. Para usar las tablas de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, debemos **tipificar** la variable: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ $$P(X \ge 850) = P\left(Z \ge \frac{850 - 750}{100}\right) = P(Z \ge 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la tabla de la normal estándar suele dar áreas hacia la izquierda ($P(Z \le z)$). Por simetría y probabilidad total: $P(Z \ge a) = 1 - P(Z \le a)$. $$P(Z \ge 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 1,00$, que es $0,8413$: $$P(X \ge 850) = 1 - 0,8413 = 0,1587$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 850) = 0,1587}$$

**b) Para una muestra de 200 jubilados de esa región, ¿cuál es la estimación del número que tienen una pensión entre 600 y 800 euros?** Primero calculamos la probabilidad de que un solo jubilado tenga una pensión en ese intervalo: $P(600 \le X \le 800)$. Tipificamos ambos valores: $$P\left(\frac{600 - 750}{100} \le Z \le \frac{800 - 750}{100}\right) = P(-1,5 \le Z \le 0,5)$$ Calculamos esta probabilidad mediante la diferencia: $$P(Z \le 0,5) - P(Z \le -1,5)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, $P(Z \le -1,5) = 1 - P(Z \le 1,5)$. Entonces: $$P(Z \le 0,5) - (1 - P(Z \le 1,5))$$ Buscamos en las tablas: - $P(Z \le 0,5) = 0,6915$ - $P(Z \le 1,5) = 0,9332$ Sustituimos: $$0,6915 - (1 - 0,9332) = 0,6915 - 0,0668 = 0,6247$$ Ahora, para estimar el número de jubilados en una muestra de $n = 200$, multiplicamos el tamaño de la muestra por la probabilidad obtenida: $$\text{Número estimado} = n \cdot p = 200 \cdot 0,6247 = 124,94$$ Redondeando al número entero más cercano, estimamos unos **125** jubilados. 💡 **Tip:** En problemas de estimación de "número de individuos", se multiplica la probabilidad del suceso por el total de la muestra. ✅ **Resultado:** $$\boxed{125 \text{ jubilados}}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que la pensión media de una muestra de 100 jubilados sea menor o igual que 730 euros?** Cuando trabajamos con la **media muestral** $\bar{X}$ de una población normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de dicha media para muestras de tamaño $n$ es: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ En este caso: - $\mu = 750$ - $\sigma = 100$ - $n = 100$ La nueva desviación típica (error estándar) es: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{100}{\sqrt{100}} = \frac{100}{10} = 10$. Por tanto, $\bar{X} \sim N(750, 10)$. Queremos calcular $P(\bar{X} \le 730)$. Tipificamos con los nuevos parámetros: $$P\left(Z \le \frac{730 - 750}{10}\right) = P\left(Z \le \frac{-20}{10}\right) = P(Z \le -2)$$ Por simetría: $$P(Z \le -2) = P(Z \ge 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 2,00$, que es $0,9772$: $$1 - 0,9772 = 0,0228$$ 💡 **Tip:** No confundas la distribución de la población (paso a) con la distribución de la media de las muestras (paso c). En la media de las muestras, la dispersión es menor cuanto mayor sea $n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \le 730) = 0,0228}$$