Intervalo de confianza y contraste de hipótesis para el salario medio

**a) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del salario de jóvenes sin estudios superiores, menores de 30 años y con trabajo.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 256$ - Media muestral: $\bar{x} = 850 \text{ euros}$ - Desviación típica (poblacional): $\sigma = 150 \text{ euros}$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ (lo que implica que $\alpha = 0,05$) 💡 **Tip:** En los problemas de estimación de la media, si la muestra es grande ($n \gt 30$), la distribución de la media muestral sigue una normal $N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$ gracias al Teorema Central del Límite.

Para un nivel de confianza del $95\%$, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad entre $-z_{\alpha/2}$ y $z_{\alpha/2}$ sea $0,95$. Si $1 - \alpha = 0,95$, entonces $\alpha = 0,05$ y $\alpha/2 = 0,025$. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ que deje a su derecha una probabilidad de $0,025$, o lo que es lo mismo, que deje a su izquierda: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$$ Mirando en la tabla de la distribución Normal: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: - Para 90%: $z_{\alpha/2} = 1,645$ - Para 95%: $z_{\alpha/2} = 1,96$ - Para 99%: $z_{\alpha/2} = 2,575$

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,96 \cdot \frac{150}{\sqrt{256}} = 1,96 \cdot \frac{150}{16} = 1,96 \cdot 9,375 = 18,375$$ El intervalo de confianza se calcula como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (850 - 18,375 \, , \, 850 + 18,375)$$ $$I.C. = (831,625 \, , \, 868,375)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{95\%} = (831,625 \, , \, 868,375) \text{ euros}}$$

**b) Con un nivel de significación del 10%, ¿hay evidencias para rechazar que la media del salario de jóvenes sin estudios superiores, menores de 30 años y con trabajo, es como máximo 830 euros?** Se trata de un contraste de hipótesis para la media. El enunciado nos pregunta si hay evidencias para rechazar que el salario es **como máximo** $830$ euros. Esto configura un contraste unilateral a la derecha. - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu \le 830$ (la media es como máximo $830$ euros). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \gt 830$ (la media es superior a $830$ euros). 💡 **Tip:** Recuerda que la hipótesis nula siempre incluye la igualdad (en este caso, $\le$). Lo que queremos ver es si la media de nuestra muestra ($850$) es lo suficientemente mayor que $830$ como para descartar que la diferencia sea solo por azar.

Calculamos el estadístico de contraste $Z$ bajo la suposición de que $\mu_0 = 830$: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{850 - 830}{150 / \sqrt{256}} = \frac{20}{9,375} \approx 2,133$$ Ahora determinamos el valor crítico para un nivel de significación $\alpha = 0,10$ en un contraste unilateral: Buscamos $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0,10$, o $P(Z \le z_{\alpha}) = 0,90$. En la tabla de la normal: $$z_{0,10} = 1,28$$ La región de rechazo es el intervalo $(1,28, +\infty)$.

Comparamos nuestro estadístico de contraste con el valor crítico: Como $Z_{calc} = 2,133$ y $z_{\alpha} = 1,28$, observamos que: $$2,133 \gt 1,28$$ Esto significa que el valor del estadístico cae en la **zona de rechazo**. Conclusión: Al nivel de significación del $10\%$, rechazamos la hipótesis nula $H_0$. Por tanto, existen evidencias estadísticas suficientes para afirmar que el salario medio es superior a $830$ euros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, hay evidencias para rechazar que la media es como máximo } 830 \text{ euros.}}$$