Estudio de una función de ganancias

**a) ¿Es continua la función al llegar el décimo año? ¿Cuál es la ganancia en este año?** Para que la función sea continua en $x = 10$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Valor de la función en $x = 10$:** Usamos la segunda rama de la función (donde aparece el signo $\ge$): $$g(10) = \frac{5(10) + 27}{10 + 1} = \frac{50 + 27}{11} = \frac{77}{11} = 7.$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 10^-$):** Usamos la primera rama: $$\lim_{x \to 10^-} g(x) = \lim_{x \to 10^-} \left(\frac{2}{5}x + 3\right) = \frac{2}{5}(10) + 3 = 4 + 3 = 7.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 10^+$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to 10^+} g(x) = \lim_{x \to 10^+} \frac{5x + 27}{x + 1} = \frac{5(10) + 27}{10 + 1} = 7.$$ Como $\lim_{x \to 10^-} g(x) = \lim_{x \to 10^+} g(x) = g(10) = 7$, la función es **continua en $x = 10$**. La ganancia en el décimo año es de **7 mil euros** (o 7000 €). 💡 **Tip:** Recuerda que para que haya continuidad, no deben existir saltos entre las ramas en el punto de unión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es continua en } x=10 \text{ y la ganancia es de 7000 €}}$$

**b) ¿Qué sucede con las ganancias a medida que transcurre el tiempo?** Para analizar qué sucede a medida que transcurre el tiempo, debemos calcular el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito ($x \to +\infty$). En este caso, utilizamos la segunda rama de la función: $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 27}{x + 1}$$ Al ser un límite de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 27}{x + 1} = \frac{5}{1} = 5.$$ Esto significa que, a largo plazo, las ganancias de la empresa se estabilizan en **5 mil euros**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador y el denominador es el mismo, el límite al infinito es el cociente de los números que acompañan a la $x$ de mayor grado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las ganancias tienden a estabilizarse en 5000 €}}$$

**c) ¿Dónde es creciente y donde es decreciente la función?** Calculamos la derivada de la función $g(x)$ en cada tramo para estudiar su signo: 1. Para $0 \lt x \lt 10$: $$g'(x) = \left(\frac{2}{5}x + 3\right)' = \frac{2}{5}$$ Como $g'(x) = 0.4 \gt 0$, la función es **creciente** en el intervalo $(0, 10)$. 2. Para $x \gt 10$: Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$g'(x) = \frac{5(x+1) - (5x+27)(1)}{(x+1)^2} = \frac{5x + 5 - 5x - 27}{(x+1)^2} = \frac{-22}{(x+1)^2}$$ Como el numerador es negativo ($-22$) y el denominador siempre es positivo para $x \gt 10$, entonces $g'(x) \lt 0$. Por lo tanto, la función es **decreciente** en el intervalo $(10, +\infty)$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|cc} x & (0, 10) & (10, +\infty) \\\hline g'(x) & + & - \\ \text{Crecimiento} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 10) \text{ y decreciente en } (10, +\infty)}$$