Sistema de ecuaciones lineales: Tarifas de publicidad

**a) Plantear el correspondiente sistema.** En primer lugar, definimos las variables que representan el precio de un anuncio en cada zona: - $x$: Precio de un anuncio en la **Zona A** (en euros). - $y$: Precio de un anuncio en la **Zona B** (en euros). - $z$: Precio de un anuncio en la **Zona C** (en euros). Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones: 1. "La suma de las tarifas de B y C es el triple que la tarifa de A": $$y + z = 3x \implies -3x + y + z = 0$$ 2. "Diez anuncios en cada tarifa cuestan 840 euros": $$10x + 10y + 10z = 840$$ 3. "Diez anuncios en la zona A y veinte en la zona B cuestan 600 euros": $$10x + 20y = 600$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, es fundamental definir claramente qué representa cada incógnita y asegurarse de que todas las unidades sean coherentes (en este caso, todo está en euros). El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} -3x + y + z = 0 \\ 10x + 10y + 10z = 840 \\ 10x + 20y = 600 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuánto vale un anuncio en cada una de las zonas?** Antes de resolver, simplificamos las ecuaciones dividiendo por $10$ en la segunda y tercera ecuación para trabajar con números más manejables: 1. $-3x + y + z = 0$ 2. $x + y + z = 84$ 3. $x + 2y = 60$ Ahora tenemos un sistema equivalente mucho más sencillo: $$\begin{cases} -3x + y + z = 0 & (1) \\ x + y + z = 84 & (2) \\ x + 2y = 60 & (3) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que todas las cifras de una ecuación sean múltiplos de un mismo número, divídelas para simplificar los cálculos y reducir errores.

Podemos utilizar el método de reducción. Si restamos la ecuación $(1)$ a la ecuación $(2)$, eliminaremos las incógnitas $y$ y $z$ de golpe: $$(x + y + z) - (-3x + y + z) = 84 - 0$$ $$x + y + z + 3x - y - z = 84$$ $$4x = 84$$ $$x = \frac{84}{4} = 21$$ Por lo tanto, el precio del anuncio en la **Zona A** es de **$21$ euros**. $$\boxed{x = 21}$$

Sustituimos el valor de $x = 21$ en la ecuación $(3)$ para hallar $y$: $$21 + 2y = 60$$ $$2y = 60 - 21$$ $$2y = 39$$ $$y = \frac{39}{2} = 19,5$$ Ahora, sustituimos $x = 21$ e $y = 19,5$ en la ecuación $(2)$ para hallar $z$: $$21 + 19,5 + z = 84$$ $$40,5 + z = 84$$ $$z = 84 - 40,5$$ $$z = 43,5$$ 💡 **Tip:** Una vez obtenidos los valores, es recomendable comprobar que cumplen todas las condiciones originales para asegurar que no ha habido errores aritméticos.

Tras resolver el sistema, obtenemos los precios para cada zona: - Zona A: **$21$ €** - Zona B: **$19,5$ €** - Zona C: **$43,5$ €** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Zona A: 21 €; Zona B: 19,5 €; Zona C: 43,5 €}}$$