Contraste de hipótesis para la proporción de telefonía móvil

**a) Con un nivel de significación del 5% ¿se acepta que la proporción de adultos con teléfono móvil sigue siendo, como máximo, del 63%?** Primero, definimos los datos del problema y las hipótesis. Se trata de un contraste sobre la proporción poblacional $p$. - Proporción bajo estudio: $p_0 = 0.63$ (63%). - El enunciado dice "como máximo", lo que indica que la hipótesis nula incluye valores menores o iguales a ese porcentaje. Establecemos las hipótesis: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \le 0.63$ (La proporción se mantiene o es menor). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \gt 0.63$ (La proporción ha aumentado). Como la hipótesis alternativa utiliza el signo $\gt$, estamos ante un **contraste unilateral a la derecha**. 💡 **Tip:** La hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($=$, $\le$ o $\ge$). Si nos preguntan si algo ha aumentado o supera un valor, eso define la hipótesis alternativa.

El nivel de significación es $\alpha = 0.05$ (5%). Al ser un contraste unilateral a la derecha, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que la probabilidad a su derecha sea $0.05$. Esto equivale a buscar un valor en la tabla de la Normal $N(0,1)$ cuya probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 1 - 0.05 = 0.95.$$ Buscando en las tablas de la distribución Normal estándar: $$z_{\alpha} = 1.645$$ La **región de aceptación** será el intervalo $(-\infty, 1.645]$ y la **región de rechazo** será $(1.645, +\infty)$. 💡 **Tip:** Para $\alpha = 0.05$, los valores críticos más comunes son $1.645$ (unilateral) y $1.96$ (bilateral).

Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ y el estadístico $Z$ con los datos de la primera encuesta: - Tamaño de la muestra: $n = 160$ - Casos a favor: $x = 110$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{110}{160} = 0.6875$ La fórmula del estadístico de contraste es: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Donde $q_0 = 1 - p_0 = 1 - 0.63 = 0.37$. Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.6875 - 0.63}{\sqrt{\frac{0.63 \cdot 0.37}{160}}} = \frac{0.0575}{\sqrt{\frac{0.2331}{160}}} = \frac{0.0575}{\sqrt{0.001456875}} = \frac{0.0575}{0.03817} \approx 1.506$$ 💡 **Tip:** El denominador $\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}$ representa la desviación típica de la distribución de proporciones muestrales.

Comparamos el estadístico calculado $Z \approx 1.506$ con el valor crítico $z_{\alpha} = 1.645$. Como $1.506 \lt 1.645$, el estadístico **cae dentro de la región de aceptación** de $H_0$. Por tanto, con un nivel de significación del 5%, no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta que la proporción sigue siendo, como máximo, del 63%}}$$

**b) Y si la encuesta hubiese sido sobre 224 personas, de las cuales 154 tenían teléfono móvil, con un nivel de significación del 5%, ¿se tomaría la misma decisión?** Mantenemos las mismas hipótesis y el mismo valor crítico $z_{\alpha} = 1.645$ (ya que $\alpha$ sigue siendo 0.05). Nuevos datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 224$ - Casos a favor: $x = 154$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{154}{224} = 0.6875$ Observamos que la proporción muestral es la misma que en el apartado anterior ($0.6875$), pero el tamaño de la muestra ha aumentado. Calculamos el nuevo estadístico: $$Z = \frac{0.6875 - 0.63}{\sqrt{\frac{0.63 \cdot 0.37}{224}}} = \frac{0.0575}{\sqrt{\frac{0.2331}{224}}} = \frac{0.0575}{\sqrt{0.001040625}} = \frac{0.0575}{0.03225} \approx 1.783$$ 💡 **Tip:** Al aumentar el tamaño de la muestra ($n$), el denominador se hace más pequeño, lo que hace que el estadístico $Z$ sea mayor si la diferencia $\hat{p} - p_0$ se mantiene.

Comparamos el nuevo estadístico $Z \approx 1.783$ con el valor crítico $z_{\alpha} = 1.645$. En este caso, $1.783 \gt 1.645$, por lo que el estadístico **cae en la región de rechazo**. A un nivel de significación del 5%, rechazaríamos $H_0$ y concluiríamos que la proporción es mayor al 63%. Por lo tanto, la decisión **no sería la misma** que en el apartado a). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se tomaría la misma decisión, ahora se rechazaría } H_0}$$