Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Determinar un intervalo, al 96% confianza, para el consumo medio semanal de gasoil.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra analizada: * Tamaño de la muestra: $n = 40$ * Media muestral: $\bar{x} = 180$ litros * Desviación típica (poblacional o muestral, tratada como $\sigma$): $\sigma = 35$ litros * Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$ Como el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande ($n \ge 30$), podemos utilizar la distribución normal para el cálculo del intervalo de confianza para la media. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional se define como: $$I_c = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

Para un nivel de confianza del $96\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04$ 2. Reparto del error en dos colas: $\alpha/2 = 0.02$ 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo un área de: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$$ Consultando las tablas de la distribución Normal estándar: * Para $z = 2.05$, el área es $0.9798$ * Para $z = 2.06$, el área es $0.9803$ Tomaremos el valor intermedio (o el más cercano según el criterio de clase), usualmente: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 2.055}$$

Ahora calculamos el margen de error $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.055 \cdot \frac{35}{\sqrt{40}} = 2.055 \cdot \frac{35}{6.3246} \approx 2.055 \cdot 5.5340 = 11.372$$ Sustituimos en la fórmula del intervalo: $$I_c = (180 - 11.372, 180 + 11.372)$$ $$I_c = (168.628, 191.372)$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{(168.63, 191.37) \text{ litros}}$$

**b) ¿A cuántos camioneros habría que preguntar para obtener una estimación del consumo medio semanal, con un error menor de 4 litros y con una confianza del 97%?** En este apartado, nos piden hallar el tamaño muestral $n$. Los nuevos datos son: * Error máximo permitido: $E < 4$ litros * Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ * Desviación típica: $\sigma = 35$ litros 💡 **Tip:** La fórmula para obtener el tamaño mínimo de la muestra a partir del error es: $$n > \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$

Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $97\%$: 1. $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ 2. $\alpha/2 = 0.015$ 3. Buscamos el área $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, el valor que corresponde exactamente a un área de $0.9850$ es: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

Sustituimos los valores en la fórmula del tamaño muestral: $$n > \left( \frac{2.17 \cdot 35}{4} \right)^2 = \left( \frac{75.95}{4} \right)^2 = (18.9875)^2$$ $$n > 360.525$$ Como el número de camioneros debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que 4, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea pequeño, siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea igual o menor al solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 361 \text{ camioneros}}$$