Optimización y estudio de funciones de rendimiento

**a) A lo largo de las 10 horas de la jornada de trabajo, ¿cuándo es creciente y cuándo es decreciente el rendimiento de la primera máquina?** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la primera máquina, debemos analizar el signo de la derivada de su función de rendimiento $f(x) = -x^2 + 8x + 84$. Calculamos la derivada $f'(x)$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 8x + 84) = -2x + 8$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece, y si $f'(x) \lt 0$ la función decrece. Los puntos donde $f'(x) = 0$ son candidatos a máximos o mínimos.

Buscamos el punto crítico igualando la derivada a cero: $$-2x + 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4$$ Como el dominio de trabajo es $[0, 10]$, evaluamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos $(0, 4)$ y $(4, 10)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 4) & 4 & (4, 10)\\\hline f'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 4)$, si tomamos $x=1$: $f'(1) = -2(1) + 8 = 6 \gt 0$. La función es **creciente**. - En el intervalo $(4, 10)$, si tomamos $x=5$: $f'(5) = -2(5) + 8 = -2 \lt 0$. La función es **decreciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } [0, 4) \text{ y decreciente en } (4, 10]}$$

**b) ¿En qué momento, de las 10 horas de la jornada de trabajo, rinden por igual las 2 máquinas?** Para que ambas máquinas rindan por igual, sus funciones de rendimiento deben tener el mismo valor, es decir, planteamos la ecuación $f(x) = g(x)$: $$-x^2 + 8x + 84 = -x^2 + 16x + 36$$ Observamos que los términos en $-x^2$ se cancelan a ambos lados de la igualdad: $$8x + 84 = 16x + 36$$ Agrupamos los términos con $x$ en un lado y los números en otro: $$84 - 36 = 16x - 8x$$ $$48 = 8x$$ $$x = \frac{48}{8} = 6$$ Como $x=6$ está dentro del intervalo $[0, 10]$, es una solución válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Rinden igual a las 6 horas de trabajo}}$$

**c) ¿En qué momento, de las 10 horas de la jornada de trabajo, el rendimiento conjunto es máximo?** El rendimiento conjunto es la suma de los rendimientos de ambas máquinas. Definimos una nueva función $H(x) = f(x) + g(x)$: $$H(x) = (-x^2 + 8x + 84) + (-x^2 + 16x + 36)$$ $$H(x) = -2x^2 + 24x + 120$$ Para maximizar esta función, calculamos su derivada: $$H'(x) = -4x + 24$$ 💡 **Tip:** El rendimiento conjunto máximo se encuentra analizando el vértice de la parábola o mediante el uso de la primera y segunda derivada.

Igualamos la derivada a cero para encontrar el punto crítico: $$-4x + 24 = 0 \implies 4x = 24 \implies x = 6$$ Para comprobar que es un máximo, podemos usar la segunda derivada: $$H''(x) = -4$$ Como $H''(6) = -4 \lt 0$, confirmamos que en $x=6$ hay un **máximo relativo**. Calculamos el valor del rendimiento máximo sustituyendo en $H(x)$: $$H(6) = -2(6)^2 + 24(6) + 120 = -2(36) + 144 + 120 = -72 + 264 = 192$$ Comparando con los extremos del intervalo: $H(0) = 120$ $H(10) = -2(100) + 24(10) + 120 = -200 + 240 + 120 = 160$ El valor máximo absoluto ocurre en $x=6$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El rendimiento conjunto es máximo a las 6 horas de trabajo (R = 192)}}$$