Álgebra 2011 Canarias
Optimización de capturas pesqueras
4.- Antes de salir a pescar, un armador ve que el precio del sargo está a 15 €/kg y que el peto está a 10 €/kg. Las cuotas pesqueras le imponen que sus capturas no pueden sobrepasar las 32 toneladas y que la cantidad de sargo, que no puede superar las 18 toneladas, puede ser, como máximo, el triple de la de peto. Además, debe cumplir con un compromiso con un distribuidor de pescado al que le ha vendido anticipadamente 9 toneladas del sargo que ha de pescar.
a) ¿Qué cantidad de cada especie debe pescar para maximizar sus ingresos?
b) Para maximizar sus ingresos, ¿deberá capturar el máximo permitido?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**a) ¿Qué cantidad de cada especie debe pescar para maximizar sus ingresos?**
Primero, definimos las variables de decisión en las mismas unidades (toneladas):
- $x$: cantidad de sargo a pescar (en toneladas).
- $y$: cantidad de peto a pescar (en toneladas).
Los precios están en €/kg. Como $1 \text{ tonelada} = 1000 \text{ kg}$, los precios por tonelada son:
- Sargo: $15 \text{ €/kg} \cdot 1000 = 15000 \text{ €/t}$.
- Peto: $10 \text{ €/kg} \cdot 1000 = 10000 \text{ €/t}$.
La función de ingresos $I(x, y)$ que queremos maximizar es:
$$I(x, y) = 15000x + 10000y$$
💡 **Tip:** Es fundamental que todas las magnitudes (toneladas y euros) sean coherentes en sus unidades antes de formular las ecuaciones.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Tratamos los datos del enunciado como inecuaciones:
1. **Capturas totales:** No pueden sobrepasar las 32 toneladas:
$$x + y \le 32$$
2. **Límite de sargo:** No puede superar las 18 toneladas:
$$x \le 18$$
3. **Relación sargo-peto:** El sargo puede ser, como máximo, el triple del peto:
$$x \le 3y$$
4. **Compromiso previo:** Ha vendido anticipadamente 9 toneladas de sargo (debe pescar al menos eso):
$$x \ge 9$$
5. **No negatividad:** Las cantidades no pueden ser negativas:
$$y \ge 0$$
Por tanto, el sistema de restricciones es:
$$\begin{cases} x + y \le 32 \\ x \le 18 \\ x \le 3y \\ x \ge 9 \\ y \ge 0 \end{cases}$$
💡 **Tip:** Al traducir "como máximo el triple", recuerda que la parte mayor ($3y$) debe ser mayor o igual que la menor ($x$).
Paso 3
Representación de la región factible
Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región factible (zona de soluciones posibles):
- $r_1: x + y = 32$ (pasa por $(32,0)$ y $(0,32)$)
- $r_2: x = 18$ (vertical)
- $r_3: x = 3y \implies y = x/3$ (pasa por $(0,0)$ y $(18,6)$)
- $r_4: x = 9$ (vertical)
La región factible es el polígono delimitado por estas condiciones.
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "r1",
"latex": "x + y \\le 32 \\{x \\ge 0, y \\ge 0\\}",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "r2",
"latex": "x \\le 18",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "r3",
"latex": "x \\le 3y",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "r4",
"latex": "x \\ge 9",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "region",
"latex": "x+y\\le32\\{x\\le18\\}\\{x\\le3y\\}\\{x\\ge9\\}",
"color": "#93c5fd",
"fillOpacity": 0.4
}
],
"bounds": {
"left": -2,
"right": 35,
"bottom": -2,
"top": 35
}
}
}
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan:
- **Vértice A** ($r_4 \cap r_3$):
$$\begin{cases} x = 9 \\ y = x/3 \end{cases} \implies y = 9/3 = 3 \implies A(9, 3)$$
- **Vértice B** ($r_4 \cap r_1$):
$$\begin{cases} x = 9 \\ x + y = 32 \end{cases} \implies 9 + y = 32 \implies y = 23 \implies B(9, 23)$$
- **Vértice C** ($r_2 \cap r_1$):
$$\begin{cases} x = 18 \\ x + y = 32 \end{cases} \implies 18 + y = 32 \implies y = 14 \implies C(18, 14)$$
- **Vértice D** ($r_2 \cap r_3$):
$$\begin{cases} x = 18 \\ y = x/3 \end{cases} \implies y = 18/3 = 6 \implies D(18, 6)$$
Los vértices son: **$A(9, 3)$**, **$B(9, 23)$**, **$C(18, 14)$** y **$D(18, 6)$**.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución del apartado a)
Sustituimos los vértices en $I(x, y) = 15000x + 10000y$:
- $I(A) = 15000(9) + 10000(3) = 135000 + 30000 = 165000$ €
- $I(B) = 15000(9) + 10000(23) = 135000 + 230000 = 365000$ €
- $I(C) = 15000(18) + 10000(14) = 270000 + 140000 = 410000$ €
- $I(D) = 15000(18) + 10000(6) = 270000 + 60000 = 330000$ €
El valor máximo se alcanza en el punto $C(18, 14)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Debe pescar 18 toneladas de sargo y 14 toneladas de peto para ingresar 410.000 €}}$$
Paso 6
Análisis de la captura total
**b) Para maximizar sus ingresos, ¿deberá capturar el máximo permitido?**
El enunciado indica que las capturas totales no pueden sobrepasar las 32 toneladas ($x + y \le 32$).
En la solución óptima hallada en el apartado anterior ($x=18$, $y=14$), la captura total es:
$$18 + 14 = 32 \text{ toneladas}$$
Como 32 es precisamente el límite máximo de cuota permitido, el armador sí captura el máximo posible para maximizar sus ingresos.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Sí, debe capturar el máximo permitido de 32 toneladas total.}}$$
💡 **Tip:** No siempre la solución óptima coincide con el límite total de recursos, pero en este caso, al ser el sargo y el peto productos con precio positivo y sin costes variables mencionados, interesa agotar la cuota disponible.