Probabilidad condicionada y teorema de la probabilidad total

**a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.** Primero, definimos los sucesos para organizar la información: - $H$: El empleado es hombre. - $M$: El empleado es mujer. - $F$: El empleado tiene contrato fijo. - $T$: El empleado tiene contrato temporal. Datos del enunciado: - $P(H) = 0.55 \implies P(M) = 1 - 0.55 = 0.45$ - Entre hombres, fijos: $P(F|H) = 0.30 \implies P(T|H) = 0.70$ - Entre mujeres, fijas: $P(F|M) = 0.60 \implies P(T|M) = 0.40$ 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**b) ¿Qué proporción de fijos y temporales tiene la empresa?** Para calcular la probabilidad total de tener un contrato fijo $P(F)$, sumamos las probabilidades de ser fijo siendo hombre y fijo siendo mujer: $$P(F) = P(H) \cdot P(F|H) + P(M) \cdot P(F|M)$$ $$P(F) = 0.55 \cdot 0.30 + 0.45 \cdot 0.60$$ $$P(F) = 0.165 + 0.270 = 0.435$$ Para los temporales $P(T)$, podemos usar el suceso contrario o sumar las ramas correspondientes: $$P(T) = 1 - P(F) = 1 - 0.435 = 0.565$$ O bien: $$P(T) = 0.55 \cdot 0.70 + 0.45 \cdot 0.40 = 0.385 + 0.180 = 0.565$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando todas las vías que conducen a él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Fijos: } 43.5\% \quad (0.435), \quad \text{Temporales: } 56.5\% \quad (0.565)}$$

**c) Construir el árbol de probabilidades ramificando primero por tipo de contrato y luego por sexo.** Para este nuevo árbol, las primeras ramas son $P(F)$ y $P(T)$. Las segundas ramas serán las probabilidades condicionadas de ser hombre o mujer dado el tipo de contrato. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: **Para contratos fijos (F):** $$P(H|F) = \frac{P(H \cap F)}{P(F)} = \frac{0.165}{0.435} \approx 0.3793$$ $$P(M|F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} = \frac{0.270}{0.435} \approx 0.6207$$ **Para contratos temporales (T):** $$P(H|T) = \frac{P(H \cap T)}{P(T)} = \frac{0.385}{0.565} \approx 0.6814$$ $$P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0.180}{0.565} \approx 0.3186$$ 💡 **Tip:** Para "darle la vuelta" al árbol solemos necesitar el Teorema de Bayes o la definición de probabilidad condicionada.

Con los valores calculados, representamos el árbol invertido: ✅ **Resultado:** Las probabilidades finales de las ramas (intersecciones) se mantienen idénticas al primer árbol, solo cambia el orden de los factores.