Estimación de la media y tamaño muestral

**a) Estimar el precio medio poblacional con un 97% de confianza.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 169$ - Media muestral: $\bar{x} = 1764$ €/m² - Desviación típica poblacional (asumida): $\sigma = 258$ €/m² - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97$ Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si el nivel de confianza es del $97\%$, entonces: $$\alpha = 1 - 0,97 = 0,03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,015$$ Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, observamos que para una probabilidad de $0,985$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza indica el área central de la campana de Gauss. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el punto que deja a su derecha un área de $\alpha/2$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$) mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2,17 \cdot \frac{258}{\sqrt{169}} = 2,17 \cdot \frac{258}{13}$$ $$E = 2,17 \cdot 19,846 = 43,066$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$\text{I.C.} = (1764 - 43,066, \, 1764 + 43,066)$$ $$\text{I.C.} = (1720,934, \, 1807,066)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El precio medio poblacional está entre 1720,93 y 1807,07 euros con un 97\% de confianza.}}$$

**b) ¿De qué tamaño tendría que ser la muestra para hacer dicha estimación con un error menor de 30 euros, con una confianza del 97%?** En este apartado, nos piden hallar el valor de $n$ para que el error sea inferior a $30$ euros ($E \lt 30$), manteniendo el nivel de confianza del $97\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,17$). Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 30$$ Despejamos $n$: $$\sqrt{n} \gt \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{30} \implies n \gt \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{30} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n \gt \left( \frac{2,17 \cdot 258}{30} \right)^2$$ $$n \gt \left( \frac{559,86}{30} \right)^2 = (18,662)^2$$ $$n \gt 348,27$$ Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza para asegurar que el error sea menor que el solicitado. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, siempre redondeamos hacia arriba, incluso si el decimal es pequeño, para garantizar que el error no supere el límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 349 \text{ poblaciones}}$$