Análisis de audiencia de un canal de televisión

**a) ¿Qué porcentaje de personas están viendo este canal nada más empezar la retransmisión? ¿Y transcurrida una hora y media?** Para resolver este apartado, evaluamos la función $f(x)$ en los instantes de tiempo indicados. 1. **Al empezar la retransmisión ($x = 0$):** $$f(0) = \frac{-1}{180}(0^2 - 60 \cdot 0 - 7200) = \frac{-1}{180}(-7200) = \frac{7200}{180} = 40.$$ 2. **Transcurrida una hora y media:** Primero convertimos el tiempo a minutos: $1.5 \text{ horas} \times 60 \text{ min/hora} = 90 \text{ minutos}$. Evaluamos para $x = 90$: $$f(90) = \frac{-1}{180}(90^2 - 60 \cdot 90 - 7200)$$ $$f(90) = \frac{-1}{180}(8100 - 5400 - 7200) = \frac{-1}{180}(-4500) = \frac{4500}{180} = 25.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en este tipo de problemas de contexto real, es fundamental identificar las unidades. Aquí $x$ se mide en minutos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al inicio: } 40\%, \text{ a la hora y media: } 25\%}$$

**b) Calcular el momento de máxima audiencia. Determinar el porcentaje de personas que ven dicho canal en ese momento.** Para hallar el máximo de la función, calculamos su primera derivada y buscamos sus puntos críticos igualando a cero. Derivamos la función $f(x) = -\frac{1}{180}(x^2 - 60x - 7200)$: $$f'(x) = -\frac{1}{180} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 60x - 7200)$$ $$f'(x) = -\frac{1}{180}(2x - 60)$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $x$: $$-\frac{1}{180}(2x - 60) = 0 \implies 2x - 60 = 0 \implies 2x = 60 \implies x = 30.$$ El máximo ocurre a los **30 minutos** del inicio. 💡 **Tip:** Al ser una función cuadrática con el coeficiente de $x^2$ negativo ($a < 0$), sabemos que la parábola abre hacia abajo y su vértice siempre será un máximo absoluto.

Justificamos que es un máximo mediante el estudio del signo de la primera derivada o usando la segunda derivada: $$f''(x) = -\frac{1}{180}(2) = -\frac{1}{90} < 0.$$ Como la segunda derivada es negativa, confirmamos que en $x = 30$ hay un **máximo relativo**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 30) & 30 & (30, 120) \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Función} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ Ahora calculamos el porcentaje de audiencia en ese momento evaluando $f(30)$: $$f(30) = -\frac{1}{180}(30^2 - 60 \cdot 30 - 7200) = -\frac{1}{180}(900 - 1800 - 7200)$$ $$f(30) = -\frac{1}{180}(-8100) = \frac{8100}{180} = 45.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a los 30 minutos con un } 45\% \text{ de audiencia}}$$

**c) Si en el momento de máxima audiencia estaban viendo la televisión 3 millones de personas, ¿cuántas estaban viendo este canal?** Sabemos por el apartado anterior que en el momento de máxima audiencia ($x = 30$), el porcentaje de personas conectadas a este canal es del $45\%$. Si el total de personas viendo la televisión en ese instante es de $3,000,000$, aplicamos el porcentaje: $$\text{Audiencia del canal} = 45\% \text{ de } 3,000,000$$ $$\text{Audiencia} = \frac{45}{100} \cdot 3,000,000 = 0.45 \cdot 3,000,000 = 1,350,000.$$ 💡 **Tip:** Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplica la cantidad por el porcentaje expresado en forma decimal ($45\% = 0.45$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{1,350,000 \text{ personas}}$$