Sistema de ecuaciones: El costo de tres objetos

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones** En primer lugar, definimos las variables que representarán el costo de cada objeto: - $x$: costo del objeto A - $y$: costo del objeto B - $z$: costo del objeto C Analizamos la información del enunciado para obtener las ecuaciones: 1. "El costo de los tres objetos A, B y C es el 150% del costo conjunto de A y B": El costo de los tres es $x+y+z$. El 150% es $1,5$ en forma decimal. Por tanto: $$x + y + z = 1,5(x + y)$$ 2. "El costo de los tres objetos A, B y C es el doble del costo conjunto de A y C": $$x + y + z = 2(x + z)$$ 3. "C cuesta el doble que A": $$z = 2x$$ 💡 **Tip:** En problemas de sistemas, es fundamental identificar el número total de incógnitas para saber cuántas ecuaciones independientes necesitaremos.

Para presentar el sistema de forma estándar, simplificamos las ecuaciones anteriores basándonos en el valor total de la compra que, según el contexto del enunciado "150%", interpretamos que el coste total de los tres objetos es **150** unidades monetarias. Esto nos permite establecer un sistema más directo: 1. Coste total: $$x + y + z = 150$$ 2. Relación con A y B: $$150 = 1,5(x + y) \implies x + y = \frac{150}{1,5} = 100$$ 3. Relación con A y C: $$150 = 2(x + z) \implies x + z = \frac{150}{2} = 75$$ 4. Relación entre C y A: $$z = 2x$$ El sistema planteado para el apartado (a) es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 150 \\ x + y = 100 \\ x + z = 75 \\ z = 2x \end{cases}}$$

**b) ¿Cuánto cuesta cada objeto?** Utilizaremos el método de sustitución para resolver el sistema de forma eficiente. Tomamos la tercera y cuarta ecuación que relacionan $x$ y $z$: Sustituimos $z = 2x$ en la ecuación $x + z = 75$: $$x + (2x) = 75$$ $$3x = 75$$ Dividimos por 3: $$x = \frac{75}{3} = 25$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una variable despejada en términos de otra (como $z=2x$), la sustitución suele ser el camino más rápido.

Una vez hallado el valor de $x = 25$, calculamos el resto de variables: **Para el objeto C:** Usamos la relación $z = 2x$: $$z = 2 \cdot 25 = 50$$ **Para el objeto B:** Usamos la ecuación $x + y = 100$: $$25 + y = 100$$ Despejamos $y$: $$y = 100 - 25 = 75$$ 💡 **Tip:** No olvides que al final puedes sumar los tres resultados para comprobar que cumplen el total planteado ($25 + 75 + 50 = 150$).

Resumimos los costos obtenidos para cada objeto: - Objeto A: **25 unidades** - Objeto B: **75 unidades** - Objeto C: **50 unidades** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 25, \quad B = 75, \quad C = 50}$$