Distribución Binomial y aproximación a la Normal

Estamos ante un experimento de Bernoulli (pagar o no con tarjeta) que se repite $n = 250$ veces de forma independiente. Por tanto, seguimos una **Distribución Binomial**. Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de compras pagadas con tarjeta de crédito: $$X \sim B(n, p) = B(250, 0.54)$$ Donde: - $n = 250$ (número total de compras). - $p = 0.54$ (probabilidad de pagar con tarjeta). - $q = 1 - p = 0.46$ (probabilidad de no pagar con tarjeta). Para los apartados b) y c), dado que $n$ es grande, comprobaremos si podemos aproximar por una **Distribución Normal**: 1. $n \cdot p = 250 \cdot 0.54 = 135 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 250 \cdot 0.46 = 115 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos $X$ por una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - Media: $\mu = n \cdot p = 135$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{250 \cdot 0.54 \cdot 0.46} = \sqrt{62.1} \approx 7.88$ $$\boxed{X' \sim N(135, 7.88)}$$

**a) ¿Cuál es el número esperado de las que no han sido pagadas con tarjeta de crédito?** El "número esperado" en una distribución estadística es la media (esperanza matemática). En este caso, nos piden la media de las compras **no pagadas** con tarjeta. Si definimos $Y$ como el número de compras no pagadas con tarjeta, su probabilidad de éxito es $q = 0.46$. La esperanza se calcula como: $$E[Y] = n \cdot q$$ $$E[Y] = 250 \cdot 0.46 = 115$$ 💡 **Tip:** La esperanza matemática en una binomial es simplemente el total de la muestra por la probabilidad del suceso que nos interesa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{115 \text{ compras}}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido pagadas con tarjeta de crédito entre 130 y 145?** Buscamos $P(130 \le X \le 145)$. Al usar la aproximación normal $X'$, debemos aplicar la **corrección por continuidad de Yates**, ampliando el intervalo $0.5$ unidades en los extremos: $$P(130 \le X \le 145) \approx P(129.5 \le X' \le 145.5)$$ Ahora tipificamos la variable para usar la tabla de la Normal $Z \sim N(0, 1)$ usando $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(\frac{129.5 - 135}{7.88} \le Z \le \frac{145.5 - 135}{7.88}\right)$$ $$P(-0.6979 \le Z \le 1.3324)$$ Redondeando a dos decimales para la tabla: $$P(-0.70 \le Z \le 1.33) = P(Z \le 1.33) - P(Z \le -0.70)$$ Usamos las propiedades de simetría $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$: $$P(Z \le 1.33) - (1 - P(Z \le 0.70))$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 1.33) = 0.9082$ - $P(Z \le 0.70) = 0.7580$ Operamos: $$0.9082 - (1 - 0.7580) = 0.9082 - 0.2420 = 0.6662$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.6662 \text{ (66.62 %)}}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 115 no se paguen con tarjeta de crédito?** Definimos $Y$ como el número de compras no pagadas con tarjeta. Como vimos en el primer paso: $$Y \sim B(250, 0.46) \approx Y' \sim N(115, 7.88)$$ Buscamos $P(Y \gt 115)$. Aplicamos la corrección por continuidad: $$P(Y \gt 115) \approx P(Y' \gt 115.5)$$ Tipificamos la variable: $$P\left(Z \gt \frac{115.5 - 115}{7.88}\right) = P(Z \gt 0.0634)$$ Redondeando a $0.06$ para la tabla: $$P(Z \gt 0.06) = 1 - P(Z \le 0.06)$$ Buscamos el valor en la tabla: - $P(Z \le 0.06) = 0.5239$ Calculamos la probabilidad final: $$1 - 0.5239 = 0.4761$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aproximar una discreta por una continua, el punto exacto no tiene probabilidad, por eso el "más de 115" (que empieza en 116) se convierte en "más de 115.5". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.4761 \text{ (47.61 %)}}$$