Contraste de hipótesis para la media

**a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la afirmación de la multinacional?** En primer lugar, extraemos los datos del enunciado para organizar la información: - Media poblacional bajo estudio: $\mu_0 = 1.8$ millones de €. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.26$ millones de €. - Tamaño de la muestra: $n = 36$. - Media muestral obtenida: $\bar{x} = 1.7$ millones de €. Planteamos el contraste de hipótesis. La multinacional afirma que el beneficio es "al menos" de 1.8 millones. Por tanto, la hipótesis nula ($H_0$) contiene la igualdad y la afirmación a contrastar: $$H_0: \mu \ge 1.8 \text{ (Afirmación de la empresa)}$$ $$H_1: \mu \lt 1.8 \text{ (Hipótesis alternativa)}$$ Se trata de un **contraste unilateral de cola izquierda**, ya que rechazaremos la afirmación de la empresa si el beneficio obtenido es significativamente inferior al que aseguran. 💡 **Tip:** Recuerda que la hipótesis nula ($H_0$) siempre debe llevar el signo de igualdad ($=$, $\ge$ o $\le$). El sentido de $H_1$ nos indica hacia qué lado de la campana de Gauss buscaremos el valor crítico.

Calculamos el estadístico de contraste (o valor experimental), que nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media poblacional supuesta. La fórmula para el estadístico $Z$ en el caso de la media es: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{1.7 - 1.8}{0.26 / \sqrt{36}} = \frac{-0.1}{0.26 / 6} = \frac{-0.1}{0.04333...} \approx -2.31$$ 💡 **Tip:** El denominador $\sigma / \sqrt{n}$ se llama error estándar de la media y representa la variabilidad de las medias de muestras de tamaño $n$.

Para un nivel de significación del $5\%$ ($\alpha = 0.05$), debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha}$ que deja un área de $0.05$ a su izquierda. Buscamos en la tabla de la distribución normal $N(0,1)$ el valor de $z_{0.05}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{0.05}) = 0.05 \implies P(Z \le z_{0.05}) = 0.95$$ Mirando en la tabla, el valor para $0.95$ se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor intermedio: $$z_{\alpha} = 1.645$$ Como es un contraste de cola izquierda, el valor crítico es **$-1.645$**. La región de aceptación es $(-1.645, +\infty)$ y la de rechazo es $(-\infty, -1.645]$. ✅ **Región de aceptación:** $$\boxed{Z \gt -1.645}$$

Comparamos nuestro estadístico de contraste $Z = -2.31$ con el valor crítico $-1.645$. Observamos que: $$-2.31 \lt -1.645$$ El valor cae dentro de la **región de rechazo**. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación de la multinacional al 5\% de significación.}}$$

**b) ¿Qué podemos decir si el nivel de significación es del 0.5%?** Ahora repetimos el proceso con $\alpha = 0.5\% = 0.005$. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{0.005}) = 0.005 \implies P(Z \le z_{0.005}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ Buscamos el valor $0.995$ en la tabla de la normal estándar: - Para $2.57 \to 0.9949$ - Para $2.58 \to 0.9951$ Tomamos el valor medio aproximado: $z_{0.005} \approx 2.575$. Por tanto, el nuevo límite de la región de rechazo por la izquierda es **$-2.575$**. 💡 **Tip:** Al disminuir el nivel de significación (de $5\%$ a $0.5\%$), la región de aceptación se hace más grande porque exigimos una evidencia mucho más fuerte para rechazar la hipótesis nula.

Comparamos de nuevo nuestro estadístico $Z = -2.31$ (este valor no cambia, ya que depende de la muestra) con el nuevo valor crítico $-2.575$. Observamos que: $$-2.31 \gt -2.575$$ En este caso, el valor de la muestra **cae dentro de la región de aceptación**. Esto significa que, aunque la media de 1.7 está por debajo de 1.8, para un nivel de exigencia tan alto ($0.5\%$), la diferencia no se considera lo suficientemente grande como para descartar que haya sido por puro azar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al 0.5\% de significación, sí se puede aceptar la afirmación de la multinacional.}}$$