Optimización de beneficios en la fabricación de ordenadores

**a) La función de beneficios.** El beneficio $B(x)$ se obtiene restando los costes totales $C(x)$ a los ingresos totales $I(x)$. Primero, definimos la función de ingresos. Si cada ordenador se vende por 490 € y vendemos $x$ unidades, el ingreso es: $$I(x) = 490x$$ Ahora, restamos la función de costes proporcionada, $C(x) = x^2 + 40x + 30000$: $$B(x) = I(x) - C(x)$$ $$B(x) = 490x - (x^2 + 40x + 30000)$$ $$B(x) = 490x - x^2 - 40x - 30000$$ $$B(x) = -x^2 + 450x - 30000$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de economía, el beneficio siempre es $\text{Ingresos} - \text{Costes}$. Ten mucho cuidado con el signo menos delante del paréntesis de la función de costes. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{B(x) = -x^2 + 450x - 30000}$$

**b) ¿Cuántos ordenadores se deben vender para que los beneficios sean máximos?** Para hallar el máximo de la función de beneficios $B(x)$, debemos calcular su derivada $B'(x)$ e igualarla a cero (puntos críticos). Derivamos la función $B(x) = -x^2 + 450x - 30000$: $$B'(x) = -2x + 450$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $x$: $$-2x + 450 = 0 \implies 450 = 2x \implies x = \frac{450}{2}$$ $$x = 225$$ El posible máximo se encuentra en la fabricación de **225 ordenadores**. 💡 **Tip:** Para encontrar los extremos de una función, el primer paso es siempre resolver $f'(x)=0$.

Para confirmar que $x = 225$ es realmente un máximo, utilizaremos el criterio de la segunda derivada. Calculamos $B''(x)$ a partir de $B'(x) = -2x + 450$: $$B''(x) = -2$$ Como $B''(225) = -2 \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo en ese punto, lo que confirma que existe un **máximo relativo** en $x = 225$. También podemos observar el signo de la derivada en una tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 225) & 225 & (225, +\infty)\\ \hline B'(x) & + & 0 & -\\ \hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{Se deben vender 225 ordenadores}}$$

**c) ¿A cuánto ascienden los beneficios máximos?** Para hallar el valor del beneficio máximo, sustituimos el valor de $x = 225$ en la función de beneficios original $B(x)$: $$B(225) = -(225)^2 + 450(225) - 30000$$ $$B(225) = -50625 + 101250 - 30000$$ $$B(225) = 50625 - 30000$$ $$B(225) = 20625$$ El beneficio máximo asciende a **20.625 €**. 💡 **Tip:** No confundas el valor de $x$ (cantidad de productos) con el valor de $B(x)$ (dinero obtenido). En el apartado b se pedía la $x$ y en este apartado c se pide la $y$ del vértice de la parábola. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{20.625 \text{ €}}$$