Álgebra 2011 Canarias
Optimización de beneficios en producción de robots
Para fabricar robots de juguete se dispone de 120 microchips y 180 conectores. Para cada modelo Robonet, que da un beneficio por unidad de 75€ y del que se deben fabricar al menos 5 unidades, se necesitan 3 microchips y 4 conectores. Para cada modelo Robotic, que da un beneficio por unidad de 90€ y del que se deben fabricar al menos 6 unidades, se necesitan 5 microchips y 8 conectores.
a) ¿Cuántos robots de cada tipo deben fabricarse para que los beneficios sean máximos?
b) En la producción óptima ¿cuántos microchips y conectores sobraron?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**a) ¿Cuántos robots de cada tipo deben fabricarse para que los beneficios sean máximos?**
En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema basándonos en la pregunta:
- $x$: número de robots modelo **Robonet**.
- $y$: número de robots modelo **Robotic**.
El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por cada Robonet es de $75€$ y por cada Robotic es de $90€$. Definimos la **función objetivo** $B(x, y)$:
$$B(x, y) = 75x + 90y$$
💡 **Tip:** La función objetivo siempre representa la cantidad que queremos hacer lo más grande (maximizar) o lo más pequeña (minimizar) posible.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A continuación, traducimos las limitaciones de recursos y producción en inecuaciones:
1. **Microchips:** Se dispone de 120. Robonet usa 3 y Robotic usa 5.
$$3x + 5y \le 120$$
2. **Conectores:** Se dispone de 180. Robonet usa 4 y Robotic usa 8.
$$4x + 8y \le 180$$
3. **Producción mínima Robonet:** Al menos 5 unidades.
$$x \ge 5$$
4. **Producción mínima Robotic:** Al menos 6 unidades.
$$y \ge 6$$
Como estamos fabricando objetos físicos, $x$ e $y$ deben ser valores positivos (lo cual ya queda implícito en las restricciones de producción mínima).
Paso 3
Representación de la región factible
Para resolver el problema, debemos dibujar la región que cumple todas las restricciones. Para ello, representamos las rectas asociadas a cada inecuación y determinamos el área común.
- $r_1: 3x + 5y = 120$ (Pasa por $(40, 0)$ y $(0, 24)$)
- $r_2: 4x + 8y = 180$ (Pasa por $(45, 0)$ y $(0, 22.5)$)
- $r_3: x = 5$ (Recta vertical)
- $r_4: y = 6$ (Recta horizontal)
La **región factible** es el polígono sombreado donde se cruzan todos los semiplanos.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los puntos candidatos a ser la solución óptima son los vértices del polígono formado. Los calculamos resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas que se cortan:
- **Vértice A:** Intersección de $x = 5$ e $y = 6$.
$$A(5, 6)$$
- **Vértice B:** Intersección de $y = 6$ y $3x + 5y = 120$.
$3x + 5(6) = 120 \implies 3x + 30 = 120 \implies 3x = 90 \implies x = 30$.
$$B(30, 6)$$
- **Vértice C:** Intersección de $3x + 5y = 120$ y $4x + 8y = 180$.
Resolvemos por sustitución: de $4x + 8y = 180$ obtenemos $x = 45 - 2y$.
Sustituimos en la otra: $3(45 - 2y) + 5y = 120 \implies 135 - 6y + 5y = 120 \implies -y = -15 \implies y = 15$.
Calculamos $x$: $x = 45 - 2(15) = 15$.
$$C(15, 15)$$
- **Vértice D:** Intersección de $x = 5$ y $4x + 8y = 180$.
$4(5) + 8y = 180 \implies 20 + 8y = 180 \implies 8y = 160 \implies y = 20$.
$$D(5, 20)$$
**Representación gráfica de la región factible:**
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "r1",
"latex": "3x + 5y \\le 120 \\{x \\ge 0, y \\ge 0\\}",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "r2",
"latex": "4x + 8y \\le 180 \\{x \\ge 0, y \\ge 0\\}",
"color": "#7c3aed"
},
{
"id": "r3",
"latex": "x \\ge 5",
"color": "#dc2626"
},
{
"id": "r4",
"latex": "y \\ge 6",
"color": "#dc2626"
},
{
"id": "region",
"latex": "y \\ge 6 \\{x \\ge 5\\} \\{3x+5y \\le 120\\} \\{4x+8y \\le 180\\}",
"color": "#93c5fd"
},
{
"id": "A",
"latex": "(5,6)",
"label": "A",
"showLabel": true
},
{
"id": "B",
"latex": "(30,6)",
"label": "B",
"showLabel": true
},
{
"id": "C",
"latex": "(15,15)",
"label": "C",
"showLabel": true
},
{
"id": "D",
"latex": "(5,20)",
"label": "D",
"showLabel": true
}
],
"bounds": {
"left": -5,
"right": 50,
"bottom": -5,
"top": 30
}
}
}
Paso 5
Evaluación del beneficio en los vértices
Para encontrar el máximo, sustituimos las coordenadas de cada vértice en la función objetivo $B(x, y) = 75x + 90y$:
- $B(A) = B(5, 6) = 75(5) + 90(6) = 375 + 540 = 915€$
- $B(B) = B(30, 6) = 75(30) + 90(6) = 2250 + 540 = 2790€$
- $B(C) = B(15, 15) = 75(15) + 90(15) = 1125 + 1350 = 2475€$
- $B(D) = B(5, 20) = 75(5) + 90(20) = 375 + 1800 = 2175€$
El valor máximo es de **2790€**, que se alcanza fabricando 30 Robonets y 6 Robotics.
✅ **Resultado apartado a):**
$$\boxed{\text{Deben fabricarse 30 robots Robonet y 6 robots Robotic}}$$
Paso 6
Cálculo de los recursos sobrantes
**b) En la producción óptima ¿cuántos microchips y conectores sobraron?**
Utilizamos los valores óptimos encontrados: $x = 30$ y $y = 6$.
1. **Microchips:**
- Consumidos: $3(30) + 5(6) = 90 + 30 = 120$.
- Disponibles: 120.
- Sobran: $120 - 120 = 0$ microchips.
2. **Conectores:**
- Consumidos: $4(30) + 8(6) = 120 + 48 = 168$.
- Disponibles: 180.
- Sobran: $180 - 168 = 12$ conectores.
✅ **Resultado apartado b):**
$$\boxed{\text{Sobraron 0 microchips y 12 conectores}}$$