Aplicaciones de las matrices: Ventas y ganancias

**a) (1 punto) Efectúe los productos $F^t \cdot G$ y $F \cdot G^t$.** Primero, calculamos la matriz transpuesta de $F$. Para trasponer una matriz, intercambiamos sus filas por sus columnas. Dado que $F$ es de dimensión $2 \times 3$, su transpuesta $F^t$ será $3 \times 2$: $$F^t = \begin{pmatrix} 100 & 200 \\ 150 & 250 \\ 80 & 140 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos $F^t \cdot G$. La matriz $F^t$ es $3 \times 2$ y $G$ es $2 \times 3$, por lo que el resultado será una matriz $3 \times 3$: $$F^t \cdot G = \begin{pmatrix} 100 & 200 \\ 150 & 250 \\ 80 & 140 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 8 & 5 \\ 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 100 \cdot 6 + 200 \cdot 4 & 100 \cdot 8 + 200 \cdot 5 & 100 \cdot 5 + 200 \cdot 3 \\ 150 \cdot 6 + 250 \cdot 4 & 150 \cdot 8 + 250 \cdot 5 & 150 \cdot 5 + 250 \cdot 3 \\ 80 \cdot 6 + 140 \cdot 4 & 80 \cdot 8 + 140 \cdot 5 & 80 \cdot 5 + 140 \cdot 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos los elementos: - Fila 1: $600+800=1400$; $800+1000=1800$; $500+600=1100$ - Fila 2: $900+1000=1900$; $1200+1250=2450$; $750+750=1500$ - Fila 3: $480+560=1040$; $640+700=1340$; $400+420=820$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila de la primera matriz por los de la columna de la segunda y sumamos. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{F^t \cdot G = \begin{pmatrix} 1400 & 1800 & 1100 \\ 1900 & 2450 & 1500 \\ 1040 & 1340 & 820 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos la transpuesta de $G$. Como $G$ es $2 \times 3$, $G^t$ será $3 \times 2$: $$G^t = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos $F \cdot G^t$. $F$ es $2 \times 3$ y $G^t$ es $3 \times 2$, el resultado será una matriz $2 \times 2$: $$F \cdot G^t = \begin{pmatrix} 100 & 150 & 80 \\ 200 & 250 & 140 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 100 \cdot 6 + 150 \cdot 8 + 80 \cdot 5 & 100 \cdot 4 + 150 \cdot 5 + 80 \cdot 3 \\ 200 \cdot 6 + 250 \cdot 8 + 140 \cdot 5 & 200 \cdot 4 + 250 \cdot 5 + 140 \cdot 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos los elementos: - Fila 1: $600+1200+400=2200$; $400+750+240=1390$ - Fila 2: $1200+2000+700=3900$; $800+1250+420=2470$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{F \cdot G^t = \begin{pmatrix} 2200 & 1390 \\ 3900 & 2470 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.75 puntos) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias.** Para obtener la ganancia total de un artículo, debemos multiplicar las unidades vendidas en cada formato por la ganancia unitaria correspondiente a ese formato y sumar. Analizando el producto $F^t \cdot G$: - El elemento $(1,1)$ es (Unidades A Grande $\cdot$ Ganancia A Grande) + (Unidades A Normal $\cdot$ Ganancia A Normal). Esto representa la ganancia total del **Artículo A**. - El elemento $(2,2)$ representa la ganancia total del **Artículo B**. - El elemento $(3,3)$ representa la ganancia total del **Artículo C**. Por tanto, las ganancias se encuentran en la **diagonal principal de la matriz $F^t \cdot G$**. Las ganancias son: - Artículo A: **1400 €** - Artículo B: **2450 €** - Artículo C: **820 €** 💡 **Tip:** En problemas de contexto, la diagonal principal suele representar la suma de productos de categorías correspondientes (mismo artículo, mismo formato, etc.). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Diagonal de } F^t \cdot G: A=1400\text{€}, B=2450\text{€}, C=820\text{€}}$$

**c) (0.75 puntos) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total.** Para obtener la ganancia total por formato (Grande o Normal), sumamos las ganancias de todos los artículos (A, B y C) en dicho formato. Analizando el producto $F \cdot G^t$: - El elemento $(1,1)$ es (Uni. A Grande $\cdot$ Gan. A Grande) + (Uni. B Grande $\cdot$ Gan. B Grande) + (Uni. C Grande $\cdot$ Gan. C Grande). Esto es la ganancia total del **formato Grande**. - El elemento $(2,2)$ es la ganancia total del **formato Normal**. Estas ganancias se encuentran en la **diagonal principal de la matriz $F \cdot G^t$**. Las ganancias son: - Formato Grande: **2200 €** - Formato Normal: **2470 €** La ganancia total de la empresa es la suma de ambas: $$\text{Ganancia Total} = 2200 + 2470 = 4670 \text{ €}$$ Nota: También podrías obtenerla sumando las ganancias de los artículos del apartado b): $1400 + 2450 + 820 = 4670$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Diagonal de } F \cdot G^t: \text{G}=2200\text{€}, \text{N}=2470\text{€}. \text{ Total} = 4670\text{€}}$$