Análisis de funciones a partir de sus derivadas: Monotonía y grado polinómico

**a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones $f$ y $g$.** Para estudiar la monotonía de una función, debemos analizar el signo de su primera derivada. Para $f(x)$, su derivada es $f'(x) = x + 2$. Buscamos primero los puntos críticos donde la derivada es cero: $$x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Este punto divide la recta real en dos intervalos: $(-\infty, -2)$ y $(-2, +\infty)$. Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,+\infty)\\\hline f'(x) = x+2 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \text{Decreciente } (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente } (\nearrow) \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \lt 0$ la función es decreciente y si $f'(x) \gt 0$ la función es creciente. ✅ **Resultado para $f$:** $$\boxed{f \text{ es decreciente en } (-\infty, -2) \text{ y creciente en } (-2, +\infty)}$$

Para la función $g(x)$, se nos indica que su derivada es $g'(x) = 2$. Observamos que $g'(x) = 2 \gt 0$ para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$. Al ser la derivada una constante positiva, la función siempre está creciendo. ✅ **Resultado para $g$:** $$\boxed{g \text{ es creciente en todo su dominio } \mathbb{R}}$$

**b) (0.75 puntos) De las dos funciones $f$ y $g$, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula.** Analizamos las expresiones dadas para las derivadas: 1. **Para $f$:** Tenemos $f'(x) = x + 2$. Si igualamos a cero: $x + 2 = 0$, obtenemos $x = -2$. Por tanto, en el punto de abscisa $x = -2$, la derivada de $f$ es nula. 2. **Para $g$:** Tenemos $g'(x) = 2$. Como $2$ es una constante distinta de cero, la ecuación $g'(x) = 0 \implies 2 = 0$ no tiene solución. 💡 **Tip:** Un punto donde la derivada es nula suele ser un candidato a extremo relativo (máximo o mínimo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f \text{ tiene una derivada nula en } x = -2. \text{ La función } g \text{ no tiene ningún punto con derivada nula.}}$$

**c) (0.75 puntos) ¿Cuál de las funciones $f$ y $g$ es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué?** Una función polinómica de primer grado (recta) tiene la forma general $P(x) = ax + b$ (con $a \neq 0$). Al derivar una función polinómica, el grado disminuye en una unidad. - Si $g(x)$ es de primer grado, su derivada $g'(x)$ debe ser una constante (grado 0). Como $g'(x) = 2$, esto encaja con la definición de una función de primer grado (cuya pendiente es 2). - Si $f(x)$ fuera de primer grado, su derivada debería ser constante. Sin embargo, $f'(x) = x + 2$ es una función de primer grado, lo que implica que la función original $f(x)$ debe ser de segundo grado (una parábola). 💡 **Tip:** Si la derivada es de grado $n$, la función original (polinómica) es de grado $n+1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } g \text{ es de primer grado porque su derivada es una constante no nula.}}$$