Probabilidad con bolas marcadas y colores

Para resolver este tipo de ejercicios de probabilidad donde se cruzan dos características (color y marca), lo más sencillo es organizar los datos en una **tabla de contingencia**. Definimos los sucesos: - $B_l$: La bola es blanca. - $N$: La bola es negra. - $M$: La bola está marcada. - $\bar{M}$: La bola no está marcada. Organizamos las cantidades dadas: $$\begin{array}{l|cc|c} & \text{Marcada (}M\text{)} & \text{Sin marcar (}\bar{M}\text{)} & \text{Total} \\ \hline \text{Blanca (}B_l\text{)} & 75 & 25 & 100 \\ \text{Negra (}N\text{)} & 175 & 125 & 300 \\ \hline \text{Total} & 250 & 150 & 400 \end{array}$$ El total de bolas es $N = 400$. 💡 **Tip:** Sumar siempre las filas y columnas para obtener los totales marginales; esto facilita aplicar la Regla de Laplace.

**a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea blanca.** Utilizamos la Regla de Laplace: $$P(B_l) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$$ De nuestra tabla, vemos que hay un total de 100 bolas blancas y el total de la urna es 400: $$P(B_l) = \frac{100}{400} = \frac{1}{4} = 0.25$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B_l) = 0.25}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad siempre es un valor entre 0 y 1.

**b) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está marcada?** Se trata de una **probabilidad condicionada**. Buscamos $P(B_l | M)$. Podemos resolverlo restringiendo nuestro espacio muestral solo a las bolas marcadas (columna $M$). Hay 250 bolas marcadas en total, de las cuales 75 son blancas: $$P(B_l | M) = \frac{P(B_l \cap M)}{P(M)} = \frac{75/400}{250/400} = \frac{75}{250}$$ Simplificamos la fracción: $$P(B_l | M) = \frac{75}{250} = \frac{3}{10} = 0.3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B_l | M) = 0.3}$$ 💡 **Tip:** La expresión "sabiendo que..." indica que el denominador debe ser el total del suceso que ya conocemos (la condición).

**c) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada?** Buscamos la probabilidad de la intersección $P(N \cap M)$. Miramos en la tabla la casilla donde coinciden "Negra" y "Marcada", que es 175, y dividimos por el total absoluto (400): $$P(N \cap M) = \frac{175}{400}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(N \cap M) = 0.4375$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N \cap M) = 0.4375}$$

**d) (0.75 puntos) ¿Son independientes los sucesos “sacar bola marcada” y “sacar bola blanca”?** Dos sucesos $A$ y $B$ son **independientes** si se cumple que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, o bien, si $P(A|B) = P(A)$. Vamos a comprobar si $P(B_l | M) = P(B_l)$: - Del apartado (a): $P(B_l) = 0.25$ - Del apartado (b): $P(B_l | M) = 0.3$ Como $0.3 \neq 0.25$, se concluye que el hecho de que la bola esté marcada influye en la probabilidad de que sea blanca. También podemos comprobarlo con la definición formal: $P(B_l \cap M) = \frac{75}{400} = 0.1875$ $P(B_l) \cdot P(M) = 0.25 \cdot \frac{250}{400} = 0.25 \cdot 0.625 = 0.15625$ Dado que $0.1875 \neq 0.15625$, los sucesos **no son independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes}}$$ 💡 **Tip:** Si el hecho de conocer una información cambia la probabilidad inicial del suceso, entonces los sucesos son dependientes.