Contraste de hipótesis para la media

**Elegida una muestra de 18 alumnos en un centro de primaria, se obtiene una media muestral de 10.8 en dicho índice. Mediante el uso de un contraste de hipótesis, ¿se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, la hipótesis nula de que la media del índice de madurez lectora de los alumnos de este centro no es inferior a 11?** En primer lugar, extraemos los datos proporcionados por el enunciado para la variable $X$, que representa el índice de madurez lectora: - La población sigue una distribución Normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$. - Tamaño de la muestra: $n = 18$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 10.8$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.01$ (es decir, un $1\%$). 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia, es fundamental distinguir entre la desviación típica de la población ($\sigma$) y la de la media muestral, que es $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Queremos contrastar si la media poblacional $\mu$ no es inferior a $11$. Esto significa que la media es mayor o igual a $11$. Las hipótesis del contraste son: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \ge 11$ (La media no es inferior a 11). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \lt 11$ (La media es inferior a 11). Se trata de un **contraste unilateral a la izquierda**, ya que la sospecha o el riesgo de rechazar la hipótesis nula se concentra en los valores pequeños de la media muestral. 💡 **Tip:** La hipótesis nula $H_0$ siempre debe contener el signo de igualdad ($=$, $\ge$ o $\le$).

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.01$$ Esto equivale a buscar en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscando en las tablas de la distribución Normal: Para una probabilidad de $0.99$, el valor de $z$ más aproximado es **$z_{0.01} = 2.33$** (o el valor exacto $2.325$). Por lo tanto, el valor crítico es **$-2.33$**. La **región de rechazo** (o crítica) es el intervalo $(-\infty, -2.33)$ y la **región de aceptación** es $[-2.33, +\infty)$.

Calculamos el valor del estadístico de prueba (o valor experimental) $z_{exp}$ utilizando la fórmula de la normalización para la media muestral, asumiendo que $\mu = 11$ (valor frontera de $H_0$): $$z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$z_{exp} = \frac{10.8 - 11}{2 / \sqrt{18}}$$ Calculamos el denominador: $$\frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{4.2426} \approx 0.4714$$ Calculamos $z_{exp}$: $$z_{exp} = \frac{-0.2}{0.4714} \approx -0.424$$ $$\boxed{z_{exp} \approx -0.424}$$

Comparamos el valor obtenido $z_{exp} = -0.424$ con el valor crítico $-2.33$: Como **$-0.424 \gt -2.33$**, el estadístico del contraste cae dentro de la **región de aceptación**. Por tanto, **no hay evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula $H_0$**. **Conclusión:** Con un nivel de significación del $1\%$, se puede aceptar la hipótesis de que la media del índice de madurez lectora no es inferior a $11$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se acepta la hipótesis nula } H_0: \mu \ge 11}$$