Optimización de la producción de estanterías

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar qué es lo que queremos calcular. En este caso, el número de estanterías de cada tipo. Llamamos: - $x$: número de estanterías **grandes** fabricadas. - $y$: número de estanterías **pequeñas** fabricadas. 💡 **Tip:** Siempre es útil escribir explícitamente qué representa cada variable antes de plantear las ecuaciones para no confundirse después.

Traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas: 1. **Material disponible:** Cada estantería grande usa $4 \text{ m}^2$ y cada pequeña $3 \text{ m}^2$, con un máximo de $60 \text{ m}^2$: $$4x + 3y \le 60$$ 2. **Mínimo de grandes:** Debe hacer al menos 3: $$x \ge 3$$ 3. **Relación entre pequeñas y grandes:** El número de pequeñas debe ser al menos el doble que el de las grandes: $$y \ge 2x$$ 4. **No negatividad:** Obviamente, no se pueden fabricar estanterías negativas (aunque $x \ge 3$ ya lo implica, es importante considerarlo): $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones queda definido como: $$\begin{cases} 4x + 3y \le 60 \\ x \ge 3 \\ y \ge 2x \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, las restricciones suelen formar una región cerrada llamada región factible.

La función que queremos maximizar es el beneficio total ($B$). Sabemos que se ganan $60 \text{ €}$ por cada grande ($x$) y $40 \text{ €}$ por cada pequeña ($y$): $$B(x, y) = 60x + 40y$$ 💡 **Tip:** Esta es la función que evaluaremos en los vértices de la región factible para encontrar el máximo beneficio.

Para hallar los vértices de la región factible, representamos las rectas asociadas a las restricciones: - $r_1: 4x + 3y = 60$. Pasa por $(0, 20)$ y $(15, 0)$. - $r_2: x = 3$. Recta vertical. - $r_3: y = 2x$. Pasa por $(0, 0)$ y $(5, 10)$. Calculamos los puntos de corte entre ellas: **Vértice A (Corte entre $x = 3$ e $y = 2x$):** Si $x = 3$, entonces $y = 2(3) = 6$. $$\boxed{A(3, 6)}$$ **Vértice B (Corte entre $x = 3$ y $4x + 3y = 60$):** $4(3) + 3y = 60 \implies 12 + 3y = 60 \implies 3y = 48 \implies y = 16$. $$\boxed{B(3, 16)}$$ **Vértice C (Corte entre $y = 2x$ y $4x + 3y = 60$):** Sustituimos $y = 2x$ en la otra ecuación: $4x + 3(2x) = 60 \implies 4x + 6x = 60 \implies 10x = 60 \implies x = 6$. Si $x = 6$, entonces $y = 2(6) = 12$. $$\boxed{C(6, 12)}$$

Sustituimos las coordenadas de cada vértice en la función objetivo $B(x, y) = 60x + 40y$: - En **A(3, 6)**: $B(3, 6) = 60(3) + 40(6) = 180 + 240 = 420 \text{ €}$ - En **B(3, 16)**: $B(3, 16) = 60(3) + 40(16) = 180 + 640 = 820 \text{ €}$ - En **C(6, 12)**: $B(6, 12) = 60(6) + 40(12) = 360 + 480 = 840 \text{ €}$ 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el óptimo se encuentra siempre en uno de los vértices (o a lo largo de un lado si hay soluciones múltiples).

Comparando los beneficios obtenidos, el valor máximo es de **840 euros**. Este beneficio se alcanza fabricando: - **6 estanterías grandes** - **12 estanterías pequeñas** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe fabricar 6 estanterías grandes y 12 pequeñas}}$$