Cálculo de derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y compuestas

**a) (0.8 puntos) $f(x) = e^{3x} \cdot \ln(2x - 5)$.** Para derivar esta función, observamos que es un producto de dos funciones: una exponencial $e^{3x}$ y un logaritmo natural $\ln(2x - 5)$. Utilizaremos la regla del producto: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$ Definimos nuestras funciones y sus derivadas individuales usando la regla de la cadena: - $u = e^{3x} \implies u' = 3e^{3x}$ - $v = \ln(2x - 5) \implies v' = \frac{2}{2x - 5}$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$ y la derivada de $\ln(g(x))$ es $\frac{g'(x)}{g(x)}$. Aplicamos la regla del producto: $$f'(x) = (3e^{3x}) \cdot \ln(2x - 5) + e^{3x} \cdot \left( \frac{2}{2x - 5} \right)$$ Podemos simplificar factorizando $e^{3x}$: $$f'(x) = e^{3x} \left[ 3 \ln(2x - 5) + \frac{2}{2x - 5} \right]$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = e^{3x} \left( 3 \ln(2x - 5) + \frac{2}{2x - 5} \right)}$$

**b) (0.8 puntos) $g(x) = \frac{3^{2x}}{x^2 - 1}$.** Esta función es un cociente, por lo que aplicamos la regla del cociente: $$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$ Identificamos los elementos y sus derivadas: - $u = 3^{2x}$. Su derivada es de tipo exponencial $a^g(x)$: $u' = 3^{2x} \cdot \ln(3) \cdot 2 = 2 \cdot \ln(3) \cdot 3^{2x}$. - $v = x^2 - 1$. Su derivada es un polinomio: $v' = 2x$. 💡 **Tip:** No olvides que la derivada de una función exponencial de base $a$ ($a^u$) incluye el logaritmo neperiano de la base: $(a^u)' = u' \cdot a^u \cdot \ln(a)$. Sustituimos en la fórmula del cociente: $$g'(x) = \frac{(2 \cdot \ln(3) \cdot 3^{2x}) \cdot (x^2 - 1) - (3^{2x}) \cdot (2x)}{(x^2 - 1)^2}$$ Simplificamos factorizando $2 \cdot 3^{2x}$ en el numerador: $$g'(x) = \frac{2 \cdot 3^{2x} \left[ \ln(3)(x^2 - 1) - x \right]}{(x^2 - 1)^2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = \frac{2 \cdot 3^{2x} (\ln(3)(x^2 - 1) - x)}{(x^2 - 1)^2}}$$

**c) (0.9 puntos) $h(x) = (3x^2 + 5x - 1)^6 + x^2 - \ln x$.** Para resolver esta derivada, derivamos cada término de la suma de forma independiente: 1. Para el primer término $(3x^2 + 5x - 1)^6$, usamos la regla de la potencia combinada con la regla de la cadena: $$\frac{d}{dx}[g(x)^n] = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)$$ Aquí $g(x) = 3x^2 + 5x - 1$ y $n = 6$. Su derivada es: $$6(3x^2 + 5x - 1)^5 \cdot (6x + 5)$$ 2. Para el segundo término $x^2$, la derivada es básica: $$2x$$ 3. Para el tercer término $-\ln x$, la derivada es: $$-\frac{1}{x}$$ 💡 **Tip:** Cuando una función es una suma o resta, simplemente derivamos cada pieza por separado y mantenemos los signos. Sumamos todos los resultados obtenidos: $$h'(x) = 6(3x^2 + 5x - 1)^5 (6x + 5) + 2x - \frac{1}{x}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{h'(x) = 6(6x + 5)(3x^2 + 5x - 1)^5 + 2x - \frac{1}{x}}$$