Independencia de sucesos y probabilidad condicionada

**a) (1 punto) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes?** Para comprobar si dos sucesos son independientes, necesitamos conocer la probabilidad de su intersección, $P(A \cap B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.94 = 0.8 + 0.7 - P(A \cap B)$$ $$0.94 = 1.5 - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = 1.5 - 0.94 = 0.56$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre esta fórmula fundamental: la unión es la suma de las probabilidades individuales menos la probabilidad de lo que tienen en común (la intersección).

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.7 = 0.56$$ Comparamos con el valor de la intersección obtenido anteriormente: $$P(A \cap B) = 0.56$$ $$P(A) \cdot P(B) = 0.56$$ Como $0.56 = 0.56$, se cumple la igualdad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ son independientes}}$$

**b) (1 punto) Calcule $P(A/B)$.** La probabilidad de $A$ condicionada a $B$ se define como: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores: $$P(A/B) = \frac{0.56}{0.7} = 0.8$$ Alternativamente, como hemos demostrado en el apartado anterior que $A$ y $B$ son **independientes**, sabemos que el hecho de que ocurra $B$ no afecta a la probabilidad de $A$. Por tanto: $$P(A/B) = P(A) = 0.8$$ 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, $P(A|B) = P(A)$ y $P(B|A) = P(B)$. ¡Esto puede ahorrarte cálculos en el examen! ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A/B) = 0.8}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule $P(A^c \cup B^c)$.** Para calcular la probabilidad de la unión de los complementarios, utilizamos las **Leyes de De Morgan**. Según estas leyes: $$A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$$ Por tanto, la probabilidad es: $$P(A^c \cup B^c) = P((A \cap B)^c)$$ Como la probabilidad de un suceso contrario es $1$ menos la probabilidad del suceso: $$P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$$ Sustituimos el valor de la intersección que calculamos en el primer paso ($0.56$): $$P(A^c \cup B^c) = 1 - 0.56 = 0.44$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son vitales: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, y el complementario de la intersección es la unión de los complementarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c \cup B^c) = 0.44}$$