Probabilidad y Estadística 2012 Andalucia
Intervalo de confianza para la media
EJERCICIO 4
La velocidad a la que circulan los conductores por una autopista sigue una distribución $N(\mu, 20)$. En un control efectuado a 100 conductores elegidos al azar ha resultado una velocidad media de $110 \ \text{km/h}$.
a) (2 puntos) Determine el intervalo de confianza para $\mu$, con un nivel del 99%.
b) (0.5 puntos) ¿Cuál es el máximo error cometido en esta estimación?
Paso 1
Identificación de los datos del problema
**a) (2 puntos) Determine el intervalo de confianza para $\mu$, con un nivel del 99%.**
Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado sobre la población y la muestra:
- La desviación típica poblacional: $\sigma = 20$.
- El tamaño de la muestra: $n = 100$.
- La media muestral: $\bar{x} = 110$.
- El nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$.
💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, es fundamental distinguir entre la media de la población ($\mu$, desconocida) y la media de la muestra ($\bar{x}$, conocida).
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $99\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. Calculamos $\alpha$:
$1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$
2. Calculamos $\alpha/2$:
$\alpha/2 = 0.005$
3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$
Consultando la tabla de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$, observamos que el valor $0.995$ se encuentra exactamente a la mitad entre $2.57$ y $2.58$. Por tanto, tomamos:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$
💡 **Tip:** Si en tu examen solo te permiten usar dos decimales, puedes usar $2.58$, aunque $2.575$ es más preciso.
Paso 3
Cálculo del intervalo de confianza
La fórmula del intervalo de confianza para la media $\mu$ es:
$$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$
Calculamos primero el error máximo admisible ($E$):
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot \frac{20}{\sqrt{100}} = 2.575 \cdot \frac{20}{10} = 2.575 \cdot 2 = 5.15$$
Ahora construimos el intervalo:
$$IC = (110 - 5.15, 110 + 5.15)$$
$$IC = (104.85, 115.15)$$
✅ **Resultado (Intervalo):**
$$\boxed{IC = (104.85, 115.15)}$$
Paso 4
Cálculo del máximo error cometido
**b) (0.5 puntos) ¿Cuál es el máximo error cometido en esta estimación?**
El máximo error cometido en una estimación por intervalo de confianza coincide con el radio del propio intervalo, es decir, el valor que sumamos y restamos a la media muestral.
Utilizamos la fórmula del error que ya hemos calculado en el apartado anterior:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituyendo los valores:
$$E = 2.575 \cdot \frac{20}{10} = 5.15$$
El error máximo cometido es de $5.15 \ \text{km/h}$.
✅ **Resultado (Error máximo):**
$$\boxed{E = 5.15 \ \text{km/h}}$$