Programación lineal: Beneficio máximo en venta de manzanas

En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos calcular: $x$: Kilogramos de manzanas de tipo A a adquirir. $y$: Kilogramos de manzanas de tipo B a adquirir. El objetivo es maximizar el beneficio total. Calculamos el beneficio por cada kilogramo vendido de cada tipo: - **Beneficio tipo A**: $0.90 - 0.60 = 0.30$ €/kg. - **Beneficio tipo B**: $1.35 - 1.00 = 0.35$ €/kg. Por tanto, la función objetivo $B(x, y)$ que representa el beneficio total es: $$B(x, y) = 0.30x + 0.35y$$ 💡 **Tip:** El beneficio es la diferencia entre el precio de venta y el precio de compra. Asegúrate de expresar todas las cantidades en las mismas unidades (en este caso, euros por kilo).

A partir de los datos del enunciado, establecemos el sistema de inecuaciones que limita nuestras posibilidades (restricciones): 1. **Restricción de presupuesto**: El coste total no puede superar los 1200 €. $$0.60x + 1y \le 1200$$ 2. **Restricción de capacidad**: El peso total no puede superar los 1500 kg. $$x + y \le 1500$$ 3. **Restricciones de no negatividad**: No se pueden comprar cantidades negativas de manzanas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones es: $$\begin{cases} 0.6x + y \le 1200 \\ x + y \le 1500 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Es útil simplificar las ecuaciones si es posible, aunque en este caso los números son manejables.

Para resolver el problema, representamos gráficamente la región factible, que es el área que cumple todas las restricciones a la vez. Calculamos los puntos de corte de las rectas con los ejes para dibujarlas: - Para $0.6x + y = 1200$: Si $x=0 \Rightarrow y=1200$. Punto $(0, 1200)$. Si $y=0 \Rightarrow 0.6x = 1200 \Rightarrow x=2000$. Punto $(2000, 0)$. - Para $x + y = 1500$: Si $x=0 \Rightarrow y=1500$. Punto $(0, 1500)$. Si $y=0 \Rightarrow x=1500$. Punto $(1500, 0)$. El vértice de intersección se halla resolviendo el sistema: $$\begin{cases} y = 1200 - 0.6x \\ y = 1500 - x \end{cases}$$ Igualando: $1200 - 0.6x = 1500 - x$ $x - 0.6x = 1500 - 1200$ $0.4x = 300 \Rightarrow x = \frac{300}{0.4} = 750$ Sustituyendo $x$: $y = 1500 - 750 = 750$. El punto es **$(750, 750)$**. Los vértices de la región factible son: - $O(0, 0)$ - $A(1500, 0)$ - $B(750, 750)$ - $C(0, 1200)$

Evaluamos la función de beneficio $B(x, y) = 0.30x + 0.35y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor máximo: 1. En $O(0, 0)$: $B(0, 0) = 0.30(0) + 0.35(0) = 0$ €. 2. En $A(1500, 0)$: $B(1500, 0) = 0.30(1500) + 0.35(0) = 450$ €. 3. En $B(750, 750)$: $B(750, 750) = 0.30(750) + 0.35(750) = 225 + 262.5 = 487.5$ €. 4. En $C(0, 1200)$: $B(0, 1200) = 0.30(0) + 0.35(1200) = 420$ €. Comparando los resultados, observamos que el beneficio máximo se obtiene en el punto $(750, 750)$. 💡 **Tip:** En programación lineal, si la región factible es un polígono cerrado y acotado, el máximo (o mínimo) siempre se encuentra en uno de sus vértices.

Para maximizar el beneficio, el comerciante deberá adquirir: - **750 kg de manzanas tipo A** - **750 kg de manzanas tipo B** El beneficio máximo obtenido será de **487.50 euros**. $$\boxed{\text{Adquirir 750 kg de cada tipo para un beneficio de 487.50 €}}$$