Cálculo de parámetros en asíntotas y estudio de función polinómica

**a) (0.75 puntos) Para la función $f$ definida de la forma $f(x) = \frac{ax}{x + b}$, determine, razonadamente, los valores de $a$ y $b$ sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación $x = -2$ y como asíntota horizontal la de ecuación $y = 3$.** Una asíntota vertical en una función racional suele aparecer en los valores de $x$ que anulan el denominador (siempre que no anulen también al numerador). Si la recta $x = -2$ es una asíntota vertical, el denominador de $f(x)$ debe ser cero cuando sustituimos $x$ por $-2$: $$-2 + b = 0$$ Despejando el valor de $b$: $$b = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que $x=c$ sea asíntota vertical, se debe cumplir que $\lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty$. $$\boxed{b = 2}$$

La asíntota horizontal de una función racional se calcula mediante el límite cuando $x \to \pm\infty$. Sabemos que la asíntota horizontal es $y = 3$, por tanto: $$\lim_{x \to \infty} \frac{ax}{x + 2} = 3$$ Como el grado del numerador y del denominador es el mismo (grado 1), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \infty} \frac{ax}{x + 2} = \frac{a}{1} = a$$ Igualando al valor dado: $$a = 3$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es $y = \frac{\text{coeficiente de mayor grado del numerador}}{\text{coeficiente de mayor grado del denominador}}$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 3, \quad b = 2}$$

**b) (1.75 puntos) Para la función $g$, definida de la forma $g(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, determine: su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Con esos datos haga un esbozo de su gráfica.** La función $g(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ es una función **polinómica**. Las funciones polinómicas están definidas para cualquier número real, ya que no presentan divisiones por cero, raíces de índice par de números negativos ni logaritmos de números no positivos. ✅ **Dominio:** $$\boxed{\text{Dom } g = \mathbb{R} \text{ o } (-\infty, +\infty)}$$

Para estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los extremos relativos, calculamos la primera derivada $g'(x)$ e igualamos a cero: $$g'(x) = 3x^2 - 6x$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$3x^2 - 6x = 0$$ Factorizamos sacando factor común: $$3x(x - 2) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: 1. $3x = 0 \implies x = 0$ 2. $x - 2 = 0 \implies x = 2$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son los candidatos a ser máximos o mínimos relativos.

Dividimos la recta real en intervalos usando los puntos críticos encontrados ($x=0$ y $x=2$) y estudiamos el signo de $g'(x)$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline g'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, probamos con $x = -1$: $g'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(0, 2)$, probamos con $x = 1$: $g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(2, +\infty)$, probamos con $x = 3$: $g'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Intervalos de monotonía:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \quad \text{Decrecimiento: } (0, 2)}$$

Calculamos la ordenada $y$ de los puntos críticos sustituyendo en la función original $g(x)$: Para $x = 0$: $$g(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$$ Como la función pasa de crecer a decrecer, hay un **Máximo relativo** en $(0, 2)$. Para $x = 2$: $$g(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$$ Como la función pasa de decrecer a crecer, hay un **Mínimo relativo** en $(2, -2)$. ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (0, 2), \quad \text{Mínimo relativo: } (2, -2)}$$

Utilizando el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los puntos singulares hallados, realizamos el esbozo de la función $g(x)$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "g", "latex": "g(x) = x^3 - 3x^2 + 2", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(0, 2)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máximo (0, 2)" }, { "id": "min", "latex": "(2, -2)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mínimo (2, -2)" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 5, "bottom": -5, "top": 5 } } }