Probabilidad total y Teorema de Bayes en producción industrial

Para resolver este problema de probabilidad, lo primero es definir los sucesos que intervienen y organizar la información en un **árbol de probabilidad**. Definimos los sucesos: - $A$: El artículo está fabricado por la máquina A. - $B$: El artículo está fabricado por la máquina B. - $C$: El artículo está fabricado por la máquina C. - $D$: El artículo es defectuoso. - $\bar{D}$: El artículo no es defectuoso (suceso contrario). Datos del enunciado: - $P(A) = 0.60$ - $P(B) = 0.30$ - $P(C) = 0.10$ Probabilidades condicionadas (defectuosos): - $P(D|A) = 0.05 \implies P(\bar{D}|A) = 1 - 0.05 = 0.95$ - $P(D|B) = 0.04 \implies P(\bar{D}|B) = 1 - 0.04 = 0.96$ - $P(D|C) = 0.03 \implies P(\bar{D}|C) = 1 - 0.03 = 0.97$

**a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C?** Nos piden la probabilidad de que ocurran dos cosas a la vez: que el artículo sea de la máquina $C$ **y** que sea defectuoso ($D$). Esto es la probabilidad de la intersección $P(C \cap D)$. Utilizamos la regla del producto (multiplicamos las ramas del árbol): $$P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D|C)$$ Sustituimos los valores: $$P(C \cap D) = 0.10 \cdot 0.03 = 0.003$$ 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, para hallar la probabilidad de una intersección, simplemente multiplicamos las probabilidades de las ramas que nos llevan a ese suceso final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C \cap D) = 0.003}$$

**b) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?** Para calcular la probabilidad de que un artículo no sea defectuoso ($P(\bar{D})$), debemos tener en cuenta que puede provenir de cualquiera de las tres máquinas. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(B) \cdot P(\bar{D}|B) + P(C) \cdot P(\bar{D}|C)$$ Sustituimos con los datos que tenemos: $$P(\bar{D}) = (0.60 \cdot 0.95) + (0.30 \cdot 0.96) + (0.10 \cdot 0.97)$$ Calculamos cada término: - $0.60 \cdot 0.95 = 0.57$ - $0.30 \cdot 0.96 = 0.288$ - $0.10 \cdot 0.97 = 0.097$ Sumamos los resultados: $$P(\bar{D}) = 0.57 + 0.288 + 0.097 = 0.955$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios "caminos" o causas excluyentes entre sí (en este caso, las máquinas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D}) = 0.955}$$

**c) (0.75 puntos) Si sabemos que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A?** En este apartado tenemos una **probabilidad condicionada**. Sabemos que el suceso $\bar{D}$ ya ha ocurrido y queremos saber la probabilidad de que la causa haya sido la máquina $A$. Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|\bar{D}) = \frac{P(A \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{P(A) \cdot P(\bar{D}|A)}{P(\bar{D})}$$ Ya tenemos todos los valores necesarios de los pasos anteriores: - $P(A \cap \bar{D}) = 0.60 \cdot 0.95 = 0.57$ - $P(\bar{D}) = 0.955$ Sustituimos: $$P(A|\bar{D}) = \frac{0.57}{0.955} \approx 0.596858...$$ Podemos expresar el resultado con cuatro decimales: $$P(A|\bar{D}) \approx 0.5969$$ O de forma exacta como fracción: $$P(A|\bar{D}) = \frac{570}{955} = \frac{114}{191}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la probabilidad: pasamos de conocer $P(\text{Efecto}|\text{Causa})$ a calcular $P(\text{Causa}|\text{Efecto})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{D}) \approx 0.5969}$$