Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Halle un intervalo de confianza, al 99%, para la media de la variable $X$.** Primero, debemos identificar los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X \sim N(\mu, 0.9)$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.9$ - Tamaño de la muestra: $n = 9$ Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos la media muestral ($\bar{x}$). Sumamos los valores obtenidos y dividimos entre el número total de datos: $$\bar{x} = \frac{10.5 + 10 + 8.5 + 10.5 + 11.5 + 13.5 + 9.5 + 13 + 12}{9}$$ $$\bar{x} = \frac{99}{9} = 11$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el estimador puntual de la media poblacional $\mu$ y es el centro de nuestro intervalo de confianza.

Para un nivel de confianza del $99\%$, el valor de $1 - \alpha$ es $0.99$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$ 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0.005$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \lt z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.9950$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, vemos que para una probabilidad de $0.9950$, el valor crítico es exactamente la media entre $2.57$ y $2.58$: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 2.575}$$

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los valores obtenidos: - $\bar{x} = 11$ - $z_{\alpha/2} = 2.575$ - $\sigma = 0.9$ - $n = 9$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = 2.575 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{9}} = 2.575 \cdot \frac{0.9}{3} = 2.575 \cdot 0.3 = 0.7725$$ Finalmente, construimos el intervalo: $$IC = (11 - 0.7725, 11 + 0.7725) = (10.2275, 11.7725)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (10.2275, 11.7725)}$$

**b) (1.25 puntos) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa población, para que el error máximo que se cometa en la determinación de un intervalo de confianza para la media de $X$ sea, a lo sumo, 0.3, con un nivel de confianza del 90%.** Para este apartado, cambian las condiciones: - Nivel de confianza $= 90\% \implies 1 - \alpha = 0.90$ - Error máximo admisible: $E \le 0.3$ - Desviación típica: $\sigma = 0.9$ (se mantiene) Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$ 2. $\alpha/2 = 0.05$ 3. $P(Z \lt z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.9500$ En las tablas de la Normal, el valor correspondiente a $0.9500$ es: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 1.645}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, se toma el valor medio entre los dos más cercanos (1.64 y 1.65).

Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \le 0.3$, por lo que despejamos $n$: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{1.645 \cdot 0.9}{0.3} \right)^2 = (1.645 \cdot 3)^2 = (4.935)^2$$ $$n = 24.354225$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **a lo sumo** 0.3 (menor o igual), debemos redondear siempre al entero superior para que el error no sobrepase el límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 25}$$