Matrices y producción de pasteles

**a) (0.5 puntos) Presente en una matriz $M$, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño.** Para organizar la información en una matriz $M$ de dimensión $3 \times 2$, asignaremos las filas a los ingredientes (huevos, azúcar, harina) y las columnas al tipo de pastel (grande, pequeño). Según el enunciado: - Pastel grande: 2 huevos, 5 terrones, 100 g de harina. - Pastel pequeño: 1 huevo, 3 terrones, 80 g de harina. La matriz $M$ queda definida como: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 100 & 80 \end{pmatrix}$$ Donde las filas representan: - Fila 1: Huevos. - Fila 2: Azúcar (terrones). - Fila 3: Harina (gramos). 💡 **Tip:** Al construir matrices de problemas reales, es fundamental etiquetar mentalmente qué significa cada fila y cada columna para que los productos posteriores tengan sentido físico. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 100 & 80 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.5 puntos) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, $A$ (20 grandes y 30 pequeños) y $B$ (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto.** Las matrices columna deben tener dimensión $2 \times 1$ para que el número de filas de los pasteles coincida con el número de columnas de la matriz $M$. - Para la matriz $A$ (20 grandes y 30 pequeños): $$A = \begin{pmatrix} 20 \\ 30 \end{pmatrix}$$ - Para la matriz $B$ (30 grandes y 20 pequeños): $$B = \begin{pmatrix} 30 \\ 20 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 20 \\ 30 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 30 \\ 20 \end{pmatrix}}$$

**c) (1.5 puntos) Calcule los productos $M \cdot A$ y $M \cdot B$ e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?** Primero, calculamos el producto $M \cdot A$: $$M \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 100 & 80 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 20 + 1 \cdot 30 \\ 5 \cdot 20 + 3 \cdot 30 \\ 100 \cdot 20 + 80 \cdot 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 + 30 \\ 100 + 90 \\ 2000 + 2400 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 70 \\ 190 \\ 4400 \end{pmatrix}$$ Interpretamos el resultado para el **Reparto A**: - Se necesitan **70 huevos**. - Se necesitan **190 terrones de azúcar**. - Se necesitan **4400 g de harina**.

Analizamos si las existencias son suficientes para el reparto $A$. Disponemos de: - Huevos: $8 \text{ docenas} = 8 \cdot 12 = 96$ huevos. - Azúcar: $200$ terrones. - Harina: $5 \text{ kg} = 5000$ g. Comparamos necesidades vs existencias para $A$: - Huevos: $70 \le 96$ (Suficiente). - Azúcar: $190 \le 200$ (Suficiente). - Harina: $4400 \le 5000$ (Suficiente). 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de trabajar en las mismas unidades. Aquí hemos pasado las docenas a unidades y los kg a gramos. ✅ **Conclusión para A:** $$\boxed{\text{Sí es posible elaborar el reparto A}}$$

Calculamos ahora el producto $M \cdot B$: $$M \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 100 & 80 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 30 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 30 + 1 \cdot 20 \\ 5 \cdot 30 + 3 \cdot 20 \\ 100 \cdot 30 + 80 \cdot 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 + 20 \\ 150 + 60 \\ 3000 + 1600 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 \\ 210 \\ 4600 \end{pmatrix}$$ Interpretamos el resultado para el **Reparto B**: - Se necesitan **80 huevos**. - Se necesitan **210 terrones de azúcar**. - Se necesitan **4600 g de harina**.

Comparamos necesidades vs existencias para $B$: - Huevos: $80 \le 96$ (Suficiente). - Azúcar: **$210 \gt 200$** (**Insuficiente**). - Harina: $4600 \le 5000$ (Suficiente). Como faltan terrones de azúcar (se necesitan 210 y solo hay 200), no es posible elaborar este reparto. ✅ **Conclusión para B:** $$\boxed{\text{No es posible elaborar el reparto B por falta de azúcar}}$$