Continuidad y extremos con parámetros

**a) (1.5 puntos) Calcule $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en $x = 1$.** Para que la función presente un mínimo en $x = 1$, primero debemos observar que este valor pertenece al primer intervalo de la función ($x \le 2$). En este intervalo, la función es polinómica: $f(x) = ax^2 - 2x$. Calculamos su derivada: $$f'(x) = 2ax - 2$$ Para que haya un extremo relativo en $x = 1$, la derivada debe ser cero en ese punto: $$f'(1) = 0 \implies 2a(1) - 2 = 0 \implies 2a = 2 \implies a = 1.$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo en un punto derivable siempre cumple que $f'(x) = 0$. Además, para que sea un mínimo, la segunda derivada debe ser positiva: $f''(1) = 2a$. Como $a=1$, $f''(1) = 2 \gt 0$, lo que confirma que es un mínimo. $$\boxed{a = 1}$$

Para que la función sea continua en todo su dominio, dado que cada rama es continua por ser funciones polinómicas, solo debemos asegurar la continuidad en el punto de salto $x = 2$. Las condiciones de continuidad en $x = 2$ son: 1. $\exists f(2) = a(2)^2 - 2(2) = 4a - 4$ 2. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} (ax^2 - 2x) = 4a - 4$$ - Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} \left(\frac{x}{2} - b\right) = \frac{2}{2} - b = 1 - b$$ Igualamos ambos límites para que exista el límite global: $$4a - 4 = 1 - b$$ Sustituimos el valor de $a = 1$ obtenido anteriormente: $$4(1) - 4 = 1 - b \implies 0 = 1 - b \implies b = 1.$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$

**b) (1 punto) Represente gráficamente la función para $a = 1.5$ y $b = 0.5$.** Sustituimos los valores en la función original: $$f(x) = \begin{cases} 1.5x^2 - 2x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{x}{2} - 0.5 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Analizamos cada rama: - **Rama 1 ($x \le 2$):** Es una parábola $y = 1.5x^2 - 2x$. - Vértice: $x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Ordenada: $y_v = f(2/3) \approx -0.67$. - Puntos de corte con el eje $X$: $1.5x^2 - 2x = 0 \implies x(1.5x - 2) = 0 \implies x = 0, x = 4/3$. - Punto en el extremo del intervalo: $f(2) = 1.5(2)^2 - 2(2) = 6 - 4 = 2$. - **Rama 2 ($x \gt 2$):** Es una recta $y = 0.5x - 0.5$. - Punto inicial (abierto): $x = 2 \implies y = 0.5(2) - 0.5 = 0.5$. - Otro punto: $x = 4 \implies y = 0.5(4) - 0.5 = 1.5$. Observamos que existe un **salto finito** en $x = 2$ ya que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 0.5$.

A continuación se muestra la representación gráfica de la función. Se puede observar el comportamiento parabólico hasta $x=2$ y el comportamiento lineal a partir de ese punto, con la discontinuidad de salto mencionada.