Probabilidad de eventos: preocupaciones de estudiantes universitarios

En primer lugar, definimos los sucesos del problema a partir de los datos ofrecidos: - $T$: Estar preocupado por encontrar trabajo. - $N$: Estar preocupado por las notas. Los datos en términos de probabilidad son: - $P(T) = 0.90$ - $P(N) = 0.30$ - $P(T \cap N) = 0.25$ (preocupación por ambas cosas) Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor las relaciones entre los sucesos: $$\begin{array}{c|cc|c} & N & \bar{N} & \text{Total} \\\hline T & 0.25 & 0.65 & 0.90 \\ \bar{T} & 0.05 & 0.05 & 0.10 \\\hline \text{Total} & 0.30 & 0.70 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Los valores de las celdas interiores se obtienen por diferencia. Por ejemplo, $P(T \cap \bar{N}) = P(T) - P(T \cap N) = 0.90 - 0.25 = 0.65$.

**a) (1.5 puntos) Si hay 400 alumnos matriculados en el último curso de dicha Universidad, ¿cuántos de ellos no están preocupados por ninguna de las dos cosas?** El suceso "no estar preocupado por ninguna de las dos cosas" es $\bar{T} \cap \bar{N}$. Podemos calcularlo mediante las **Leyes de De Morgan**: $P(\bar{T} \cap \bar{N}) = P(\overline{T \cup N}) = 1 - P(T \cup N)$ Primero hallamos la unión $P(T \cup N)$: $$P(T \cup N) = P(T) + P(N) - P(T \cap N)$$ $$P(T \cup N) = 0.90 + 0.30 - 0.25 = 0.95$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección de los contrarios: $$P(\bar{T} \cap \bar{N}) = 1 - 0.95 = 0.05$$ 💡 **Tip:** Observa que este valor coincide con el que calculamos anteriormente en la tabla de contingencia.

Una vez que tenemos la probabilidad $P(\bar{T} \cap \bar{N}) = 0.05$, calculamos el número de alumnos sobre el total de 400: $$\text{Número de alumnos} = 400 \cdot 0.05 = 20$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{20 \text{ alumnos no están preocupados por ninguna de las dos cosas}}$$

**b) (1 punto) Si un alumno del último curso, elegido al azar, no está preocupado por encontrar trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que esté preocupado por sus notas?** Se nos pide la probabilidad de que esté preocupado por las notas ($N$) sabiendo que (condicionado a que) no está preocupado por el trabajo ($\bar{T}$). Es decir, calculamos $P(N | \bar{T})$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(N | \bar{T}) = \frac{P(N \cap \bar{T})}{P(\bar{T})}$$ De los datos o de la tabla anterior extraemos: - $P(N \cap \bar{T}) = P(N) - P(N \cap T) = 0.30 - 0.25 = 0.05$ - $P(\bar{T}) = 1 - P(T) = 1 - 0.90 = 0.10$ Sustituimos: $$P(N | \bar{T}) = \frac{0.05}{0.10} = 0.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Siempre dividimos por la probabilidad de la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N | \bar{T}) = 0.5}$$ (También se puede expresar como el 50%).