Contraste de hipótesis para la proporción móvil

**¿Puede admitirse que la proporción de personas con contrato en su teléfono móvil ha disminuido?** En primer lugar, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para realizar el contraste de hipótesis sobre una proporción: - Proporción poblacional bajo la hipótesis nula: $p_0 = 0.25$ - Tamaño de la muestra: $n = 950$ - Número de casos favorables en la muestra: $x = 200$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$ Definimos las hipótesis del contraste. Como el enunciado nos pide comprobar si la proporción ha disminuido (contraste unilateral), planteamos: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \ge 0.25$ (La proporción es al menos del 25%) - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \lt 0.25$ (La proporción ha disminuido) 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis alternativa $H_1$ suele ser aquello que queremos demostrar o sospechamos que está ocurriendo (en este caso, la disminución).

Calculamos la proporción observada en nuestra muestra ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{200}{950} \approx 0.2105$$ Para realizar el contraste, utilizaremos el estadístico de contraste $Z$, que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.2105 - 0.25}{\sqrt{\frac{0.25 \cdot 0.75}{950}}} = \frac{-0.0395}{\sqrt{\frac{0.1875}{950}}} = \frac{-0.0395}{\sqrt{0.00019737}} = \frac{-0.0395}{0.014049}$$ $$Z \approx -2.81$$ 💡 **Tip:** El estadístico de contraste nos dice a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestro valor muestral del valor esperado. Un valor muy alejado (negativo en este caso) sugiere que la proporción real es menor.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral por la izquierda ($H_1: p \lt 0.25$), buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$. Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.05 = 0.95 \implies z_{\alpha} = 1.645$$ Por tanto, el valor crítico es **$-1.645$**. **Regla de decisión:** - Si $Z_{calculado} \lt -1.645$, rechazamos $H_0$. - En nuestro caso: $-2.81 \lt -1.645$. Como el valor del estadístico cae en la **región de rechazo**, tenemos evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula. Concluimos que, con un nivel de significación del 5%, se puede admitir que la proporción de personas con contrato en su teléfono móvil **ha disminuido**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ Se admite que la proporción ha disminuido.}}$$