Programación lineal: Representación de recinto y optimización

**a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto.** Para representar el recinto, primero debemos dibujar las rectas asociadas a cada inecuación. Para ello, despejamos la $y$ y buscamos dos puntos de cada una: 1. **Recta $r_1$ ($2x + y = 2$):** - Si $x=0 \implies y=2$. Punto $(0, 2)$ - Si $y=0 \implies x=1$. Punto $(1, 0)$ 2. **Recta $r_2$ ($2y - 3x = -3$):** - Si $x=1 \implies 2y - 3 = -3 \implies y=0$. Punto $(1, 0)$ - Si $x=3 \implies 2y - 9 = -3 \implies 2y = 6 \implies y=3$. Punto $(3, 3)$ 3. **Recta $r_3$ ($3y - x = 6$):** - Si $x=0 \implies 3y = 6 \implies y=2$. Punto $(0, 2)$ - Si $x=3 \implies 3y - 3 = 6 \implies 3y = 9 \implies y=3$. Punto $(3, 3)$ 💡 **Tip:** Para representar una recta solo necesitas dos puntos. Elige valores sencillos como el $0$ para facilitar los cálculos.

Para saber qué región del plano corresponde a cada inecuación, tomamos un punto de prueba que no esté en las rectas, por ejemplo el $(1, 1)$, y comprobamos si cumple las condiciones: - $2(1) + 1 = 3 \ge 2$ (**Sí**) - $2(1) - 3(1) = -1 \ge -3$ (**Sí**) - $3(1) - 1 = 2 \le 6$ (**Sí**) Como el punto $(1, 1)$ cumple todas, el recinto es el triángulo formado por la intersección de los semiplanos que contienen a dicho punto. ✅ **Resultado:** El recinto es el triángulo sombreado en el gráfico interactivo.

**b) (1 punto) Calcule sus vértices.** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: **Vértice $A$ (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ -3x + 2y = -3 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera ecuación por $-2$: $$-4x - 2y = -4$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-4x - 2y) + (-3x + 2y) = -4 - 3 \implies -7x = -7 \implies x = 1$$ Sustituyendo $x=1$ en la primera: $$2(1) + y = 2 \implies y = 0$$ $$\boxed{A(1, 0)}$$

**Vértice $B$ (Intersección de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} -3x + 2y = -3 \\ -x + 3y = 6 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por $-3$: $$3x - 9y = -18$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-3x + 2y) + (3x - 9y) = -3 - 18 \implies -7y = -21 \implies y = 3$$ Sustituyendo $y=3$ en la segunda: $$-x + 3(3) = 6 \implies -x + 9 = 6 \implies x = 3$$ $$\boxed{B(3, 3)}$$

**Vértice $C$ (Intersección de $r_3$ y $r_1$):** $$\begin{cases} -x + 3y = 6 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por $-3$: $$-6x - 3y = -6$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-x + 3y) + (-6x - 3y) = 6 - 6 \implies -7x = 0 \implies x = 0$$ Sustituyendo $x=0$ en la segunda: $$2(0) + y = 2 \implies y = 2$$ 💡 **Tip:** Es muy común que los puntos usados para dibujar las rectas en el apartado (a) coincidan con los vértices. $$\boxed{C(0, 2)}$$

**c) (0.5 puntos) Obtenga el valor mínimo de la función $F(x, y) = 2x - y$ en el recinto anterior, así como dónde lo alcanza.** Evaluamos la función $F(x, y) = 2x - y$ en cada uno de los vértices calculados: - En $A(1, 0): F(1, 0) = 2(1) - 0 = 2$ - En $B(3, 3): F(3, 3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$ - En $C(0, 2): F(0, 2) = 2(0) - 2 = -2$ Comparando los resultados, el valor más pequeño es $-2$. 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento que los une). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El valor mínimo es } -2 \text{ y se alcanza en el punto } (0, 2)}$$