Derivabilidad de funciones a trozos y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Sea la función $f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - bx - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$. Determine los valores de $a$ y $b$, para que la función $f$ sea derivable en $x = 2$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Una función es continua en $x = 2$ si los límites laterales coinciden con el valor de la función: 1. Valor de la función: $f(2) = a(2)^2 + 3(2) = 4a + 6$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (ax^2 + 3x) = 4a + 6$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - bx - 4) = 2^2 - b(2) - 4 = 4 - 2b - 4 = -2b$. Para que sea continua, igualamos los límites: $$4a + 6 = -2b \implies 4a + 2b = -6$$ Dividiendo entre 2 para simplificar: $$2a + b = -3 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la continuidad es una condición necesaria pero no suficiente para la derivabilidad.

Para que sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben ser iguales. Primero calculamos la función derivada de cada rama: $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + 3 & \text{si } x < 2 \\ 2x - b & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = 2$: 1. Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = 2a(2) + 3 = 4a + 3$. 2. Derivada por la derecha: $f'(2^+) = 2(2) - b = 4 - b$. Igualamos ambas expresiones: $$4a + 3 = 4 - b \implies 4a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Al derivar una función a trozos para estudiar la derivabilidad, no incluimos el signo igual en las desigualdades hasta comprobar que las derivadas laterales coinciden.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} 2a + b = -3 \\ 4a + b = 1 \end{cases}$$ Podemos restar la primera ecuación a la segunda para eliminar $b$: $$(4a + b) - (2a + b) = 1 - (-3)$$ $$2a = 4 \implies a = 2$$ Sustituimos el valor de $a$ en la primera ecuación: $$2(2) + b = -3 \implies 4 + b = -3 \implies b = -7$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = -7}$$

**b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $g(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Necesitamos dos elementos para la recta tangente: el punto de tangencia y la pendiente. 1. **Punto de tangencia:** Calculamos la imagen de $x = 0$ en la función original: $$y_0 = g(0) = \frac{0 + 2}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2$$ El punto es $(0, -2)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Es el valor de la derivada en $x = 0$. Derivamos $g(x)$ usando la regla del cociente: $$g'(x) = \frac{(1)(x-1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$$ Evaluamos en $x = 0$: $$m = g'(0) = \frac{-3}{(0-1)^2} = \frac{-3}{1} = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Utilizamos la fórmula de la recta en forma punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituyendo los valores hallados ($x_0 = 0$, $y_0 = -2$, $m = -3$): $$y - (-2) = -3(x - 0)$$ $$y + 2 = -3x$$ Despejando $y$ para obtener la forma explícita: $$y = -3x - 2$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{y = -3x - 2}$$