Probabilidad y Estadística 2012 Andalucia
Probabilidad y proporción de accidentes por marcas
EJERCICIO 3
Una compañía de seguros ha hecho un seguimiento durante un año a 50000 coches de la marca A, a 20000 de la marca B y a 30000 de la C, que tenía asegurados, obteniendo que, de ellos, habían tenido accidente 650 coches de la marca A, 200 de la B y 150 de la C. A la vista de estos datos:
a) (1.25 puntos) ¿Cuál de las tres marcas de coches tiene menos proporción de accidentes?
b) (1.25 puntos) Si, elegido al azar uno de los coches observados, ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca C?
Paso 1
Organización de datos y diagrama de árbol
**a) (1.25 puntos) ¿Cuál de las tres marcas de coches tiene menos proporción de accidentes?**
En primer lugar, definimos los sucesos y calculamos las probabilidades totales. El número total de coches observados es:
$$N = 50000 + 20000 + 30000 = 100000$$
Definimos los sucesos:
- $A$: El coche es de la marca A.
- $B$: El coche es de la marca B.
- $C$: El coche es de la marca C.
- $Acc$: El coche ha tenido un accidente.
Calculamos las probabilidades de elegir un coche de cada marca:
$P(A) = \frac{50000}{100000} = 0.5$
$P(B) = \frac{20000}{100000} = 0.2$
$P(C) = \frac{30000}{100000} = 0.3$
Ahora, representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la proporción de accidentes por marca
La proporción de accidentes de cada marca se calcula dividiendo el número de accidentes entre el número de coches de esa marca específica (probabilidades condicionadas):
- Marca A: $P(Acc|A) = \dfrac{650}{50000} = 0.013$
- Marca B: $P(Acc|B) = \dfrac{200}{20000} = 0.01$
- Marca C: $P(Acc|C) = \dfrac{150}{30000} = 0.005$
💡 **Tip:** La proporción es lo mismo que la probabilidad de tener un accidente sabiendo que el coche es de una marca determinada.
Comparando los valores:
$$0.005 \lt 0.01 \lt 0.013$$
La marca con menor proporción de accidentes es la C.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{La marca C tiene la menor proporción de accidentes (0.005)}}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) (1.25 puntos) Si, elegido al azar uno de los coches observados, ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca C?**
Nos piden calcular la probabilidad de que el coche sea de la marca C dado que sabemos que ha tenido un accidente, es decir, $P(C|Acc)$.
Utilizamos la definición de probabilidad condicionada:
$$P(C|Acc) = \frac{P(C \cap Acc)}{P(Acc)}$$
Calculamos primero el total de accidentes $P(Acc)$ (Probabilidad Total):
$$P(Acc) = P(A \cap Acc) + P(B \cap Acc) + P(C \cap Acc)$$
$$P(Acc) = (0.5 \cdot 0.013) + (0.2 \cdot 0.01) + (0.3 \cdot 0.005)$$
$$P(Acc) = 0.0065 + 0.002 + 0.0015 = 0.01$$
Ahora aplicamos la fórmula:
$$P(C|Acc) = \frac{0.0015}{0.01} = 0.15$$
💡 **Tip:** También podías calcularlo directamente con los casos favorables sobre casos posibles: de los 1000 coches con accidente ($650+200+150$), 150 son de la marca C. $150/1000 = 0.15$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|Acc) = 0.15}$$