Inferencia estadística: Proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza, al 99%, para estimar la proporción de alumnos que han resultado aptos en dicha prueba.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción de alumnos **aptos**: - Tamaño de la muestra ($n$): $120$ - Alumnos no aptos: $15$ - Alumnos aptos: $120 - 15 = 105$ Calculamos la proporción muestral de aptos ($\\hat{p}$): $$\\hat{p} = \\frac{105}{120} = 0.875$$ Calculamos la proporción complementaria ($\\hat{q}$): $$\\hat{q} = 1 - \\hat{p} = 1 - 0.875 = 0.125$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de leer bien si piden la proporción de 'aptos' o 'no aptos', ya que cambiará el valor de $\\hat{p}$.

Para un nivel de confianza del $99\%$, el valor de $\\alpha$ es: $$1 - \\alpha = 0.99 \\implies \\alpha = 0.01 \\implies \\frac{\\alpha}{2} = 0.005$$ Buscamos el valor crítico $z_{\\alpha/2}$ tal que $P(Z \\le z_{\\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, observamos que el valor $0.995$ se encuentra exactamente entre $2.57$ y $2.58$. $$\\boxed{z_{\\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Algunos profesores aceptan $2.58$, pero $2.575$ es más preciso al ser el punto medio.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\\alpha/2} \\cdot \\sqrt{\\frac{\\hat{p} \\cdot \\hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.575 \\cdot \\sqrt{\\frac{0.875 \\cdot 0.125}{120}} = 2.575 \\cdot \\sqrt{\\frac{0.109375}{120}} \\approx 2.575 \\cdot 0.0302 = 0.0777$$ El intervalo de confianza se calcula como $(\\hat{p} - E, \\hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.875 - 0.0777 = 0.7973$ - Límite superior: $0.875 + 0.0777 = 0.9527$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\\boxed{I.C. = (0.7973, \\, 0.9527)}$$

**b) (1 punto) Manteniendo la misma confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción de alumnos aptos, cometiendo un error inferior al 5%?** Nos piden que el error sea inferior al $5\%$, es decir: $E \\lt 0.05$. Mantenemos los datos anteriores: - Confianza $99\% \\implies z_{\\alpha/2} = 2.575$ - Proporción estimada $\\hat{p} = 0.875$ y $\\hat{q} = 0.125$ La fórmula del error despejando $n$ es: $$n \\gt \\frac{z_{\\alpha/2}^2 \\cdot \\hat{p} \\cdot \\hat{q}}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Si el enunciado no diera una proporción previa, usaríamos el caso más desfavorable $\\hat{p} = 0.5$.

Sustituimos los valores en la inecuación: $$n \\gt \\frac{2.575^2 \\cdot 0.875 \\cdot 0.125}{0.05^2}$$ $$n \\gt \\frac{6.630625 \\cdot 0.109375}{0.0025}$$ $$n \\gt \\frac{0.72522}{0.0025} \\approx 290.09$$ Como el número de alumnos debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** al $5\%$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\\boxed{n = 291 \\text{ alumnos}}$$